Для того чтобы найти точку перегиба графика функции, нужно найти вторую производную функции и приравнять ее к нулю. Если значение второй производной меняет знак с плюса на минус, или наоборот, в точке x=c, то график имеет точку перегиба в этой точке.
Давайте найдем вторую производную функции f(x)=ln(x^2+1). Сначала найдем первую производную:
f'(x) = (1/(x^2+1))*(2x) = 2x/(x^2+1).
Затем найдем вторую производную:
f”(x) = (2(x^2+1) – 2x*(2x))/(x^2+1)^2 = (2x^2 + 2 – 4x^2)/(x^2+1)^2 = (-2x^2 + 2)/(x^2+1)^2.
Теперь приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение:
(-2x^2 + 2)/(x^2+1)^2 = 0.
Чтобы деление было равно нулю, числитель должен быть равен нулю:
-2x^2 + 2 = 0.
2x^2 = 2.
x^2 = 1.
x = ±1.
Мы получили два значения x=1 и x=-1. Проверим знаки второй производной вокруг этих точек.
Для x=-1:
f”(-1) = (-2*(-1)^2 + 2)/( (-1)^2+1 )^2 = (2 + 2)/4 = 4/4 = 1, положительное значение.
Для x=1:
f”(1) = (-2*1^2 + 2)/( 1^2+1 )^2 = 0/4 = 0, нулевое значение.
Полученные результаты говорят о том, что в точке x=-1 график функции f(x)=ln(x^2+1) имеет точку перегиба.
Теперь найдем значение функции в этой точке, чтобы найти координаты точки перегиба. Подставляем x=-1 в исходную функцию:
f(-1) = ln((-1)^2+1) = ln(2).
Таким образом, точка перегиба графика функции f(x)=ln(x^2+1) имеет координаты (-1; ln 2).
Ответ: C. (-1; ln 2).