Данная задача предлагает нам найти максимальное количество свободных клеток в таблице 5×5, при условии, что все суммы чисел по строкам и столбцам попарно различны и их всего 10.
Для начала заметим, что для полностью заполненной таблицы сумма чисел будет равна сумме арифметической прогрессии от 1 до 25, то есть 325.
Пусть x – количество свободных клеток в таблице. Количество занятых клеток будет равно (25 – x). Всего у нас есть 10 сумм чисел по строкам и столбцам, поэтому сумма чисел в занятых клетках ограничена значением (325 – 10) = 315.
Каждая сумма чисел в таблице должна быть уникальной, поэтому возьмем в рассмотрение минимальное значение суммы чисел. Пусть это сумма чисел в занятых клетках, то есть 315. Теперь нам нужно найти максимальное количество чисел, которые могут быть помещены в таблицу таким образом, чтобы их сумма не превышала 315.
Посмотрим на числа из арифметической прогрессии от 1 до 25:
1, 2, 3, …, 25
Если выбрать 10 различных чисел из этой последовательности, их сумма не превысит 325. Значит, количество свободных клеток должно быть как минимум 10.
Мы пришли к выводу, что максимальное количество свободных клеток в таблице размером 5×5 будет равно 10.