в отдел технического контроля поступает партия. содержащая 20 изделий, среди которых имеется 5 бракованных. Контролер для проверки отбирает 2 изделия, при этом в бракован ном изделии он обнаруживает брак с вероятностью 0,9. Партия бракуется. если среди ото бранных для проверки изделий обнаружено хотя бы одно бракованное. Найдите вероят ность того, что данная партия изделий будут забракована.

Дано:
– Общее количество изделий в партии N = 20
– Количество бракованных изделий в партии M = 5
– Количество отобранных изделий для проверки k = 2
– Вероятность обнаружить брак в бракованном изделии p = 0,9

Найдем вероятность того, что партия будет забракована.

Для этого воспользуемся формулой условной вероятности:

P(Партия забракована) = P(Хотя бы одно бракованное изделие обнаружено при проверке)

Вероятность обнаружить хотя бы одно бракованное изделие при проверке будет равна 1 минус вероятность обнаружить ни одного бракованного изделия при проверке.

P(Хотя бы одно бракованное изделие обнаружено при проверке) = 1 – P(Ни одного бракованного изделия не обнаружено при проверке)

Вероятность обнаружить ни одного бракованного изделия при проверке состоит из двух случаев:
1) Не выбрали ни одно бракованное изделие при проверке
2) Выбрали только нормальные изделия при проверке

Рассмотрим первый случай. Вероятность не выбрать ни одного бракованного изделия при проверке равна произведению вероятностей выбрать нормальное изделие при каждом выборе:

P(Не выбрали ни одного бракованного изделия при проверке) = P(Выбор нормального изделия) * P(Выбор нормального изделия)

Вероятность выбрать нормальное изделие при каждом выборе равна количеству нормальных изделий, разделенному на общее количество изделий:

P(Выбор нормального изделия) = (N – M) / N

Рассмотрим второй случай. Вероятность выбрать только нормальные изделия при проверке равна произведению вероятностей выбрать нормальное изделие при каждом выборе:

P(Выбрать только нормальные изделия при проверке) = P(Выбор нормального изделия) * P(Выбор нормального изделия) * … * P(Выбор нормального изделия)

Вероятность выбрать нормальное изделие при каждом выборе остается такой же, как и в первом случае:

P(Выбор нормального изделия) = (N – M) / N

Так как выборы независимы, то произведение вероятностей равно возведению каждой вероятности в степень количества выборов:

P(Выбрать только нормальные изделия при проверке) = (N – M) / N * (N – M) / N

Теперь можем расчитать вероятность обнаружить ни одного бракованного изделия при проверке:

P(Ни одного бракованного изделия не обнаружено при проверке) = P(Не выбрали ни одного бракованного изделия при проверке) + P(Выбрать только нормальные изделия при проверке)

Подставим значения и найдем вероятность:

P(Ни одного бракованного изделия не обнаружено при проверке) = ((N – M) / N)^k + ((N – M) / N * (N – M) / N)^k

Теперь можем найти вероятность того, что партия будет забракована:

P(Партия забракована) = 1 – P(Ни одного бракованного изделия не обнаружено при проверке)