Обозначим длины сторон прямоугольника ABCD следующим образом: AB = a, BC = b.
Так как точка E делит сторону BC пополам, то CE = BE = b/2.
Точка E является серединой гипотенузы прямоугольного треугольника AED, поэтому AE = DE.
Обозначим AE = DE = x.
Тогда AD = AE + ED = x + x = 2x.
Также из условия задачи периметр прямоугольника равен 18, получаем следующее уравнение:
2*(a + b) = 18.
Раскроем скобки:
2a + 2b = 18.
Делим обе части уравнения на 2:
a + b = 9.
Заменим длины сторон прямоугольника следующим образом:
a = 2x, b = b/2.
Подставим значения a и b в уравнение a + b = 9:
2x + b/2 = 9.
Умножим обе части уравнения на 2:
4x + b = 18.
Выразим b через x:
b = 18 – 4x.
Так как AE = DE = x, площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон:
S = a * b = (2x) * (18 – 4x) = 36x – 8x^2.
Теперь найдем максимум площади, взяв производную функции S(x) по x и приравняв ее к нулю:
S'(x) = 36 – 16x = 0.
16x = 36.
x = 36/16 = 9/4 = 2.25.
Подставим найденное значение x в формулу для площади S(x):
S = 36 * 2.25 – 8 * (2.25)^2 = 81 – 36 = 45.
Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 45.