Пусть вершины выпуклого 5-угольника обозначены как A, B, C, D и E соответственно. Обозначим числа, стоящие в этих точках, как a, b, c, d и e.
Для каждой стороны этого 5-угольника существует пара чисел, стоящих в ее концах. Рассмотрим суммы этих пар чисел. По условию, эти суммы выписаны в порядке возрастания. Пусть эти суммы обозначены как S1, S2, S3, S4 и S5. Тогда получим следующие равенства:
S1 = a + b
S2 = b + c
S3 = c + d
S4 = d + e
S5 = e + a
Рассмотрим разности последовательных сумм: D1 = S2 – S1, D2 = S3 – S2, D3 = S4 – S3 и D4 = S5 – S4. Подставим в эти выражения выражения для сумм и упростим:
D1 = (b + c) – (a + b) = c – a
D2 = (c + d) – (b + c) = d – b
D3 = (d + e) – (c + d) = e – c
D4 = (e + a) – (d + e) = a – d
Заметим, что сумма всех D-ов равна нулю:
D1 + D2 + D3 + D4 = (c – a) + (d – b) + (e – c) + (a – d) = 0
Теперь заметим, что если полученная последовательность D1, D2, D3, D4 является арифметической прогрессией, то все ее члены должны быть равны. То есть, c – a = d – b = e – c = a – d. Но это возможно только если все числа равны нулю.
Таким образом, единственная арифметическая прогрессия, которая может получиться из данной набора чисел – это прогрессия из нулей. В общем случае, могут получиться другие последовательности с равными разностями, но они не являются арифметическими прогрессиями.