Для решения данной задачи мы будем использовать полярные координаты. Для этого введём замену переменных:
x = r*cos(φ)
y = r*sin(φ)
где r – радиус, а φ – угол.
Также изменяем пределы интегрирования для угла φ в интервале от 0 до π/3.
Для того чтобы выразить дифференциалы dx и dy через дифференциалы dr и dφ, воспользуемся формулой Якобиана преобразования координат:
dx dy = |J| dr dφ
где J – якобиан преобразования координат:
J = ∂(x,y) / ∂(r,φ)
Вычислим якобиан преобразования координат:
J = |∂x/∂r ∂x/∂φ|
|∂y/∂r ∂y/∂φ|
∂(x,y)/∂(r,φ) = |cos(φ) -r*sin(φ)|
|sin(φ) r*cos(φ)|
|J| = |cos(φ)*r*cos(φ) – (-r*sin(φ)*sin(φ))|
|J| = |r*cos^2(φ) + r*sin^2(φ)| = |r|
Теперь наш интеграл можно переписать в полярной системе координат:
∫∫_D (r^2)^3 |J| dr dφ
∫∫_D r^6 r dr dφ
∫_φ=0^(π/3) ∫_r=0^1 r^7 dr dφ
Вычисляя поочерёдно интегралы, получаем:
∫_φ=0^(π/3) (1/8) dφ = (1/8) * (π/3 – 0) = π/24
Таким образом, значение данного двойного интеграла равно π/24.