На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения данной задачи, мы можем применить метод двойных интегралов и изменить порядок интегрирования (перейти от прямоугольной системы координат к полярной системе координат).
Шаг 1:
Перейдем к полярным координатам. Для этого заменим переменные x и y следующим образом:
x = r*cos(theta)
y = r*sin(theta)
Шаг 2:
Найдем границы интегрирования для переменных r и theta.
Для границ по r:
r_min = 1 (точка пересечения кривых y = x и y = 1/x)
r_max = 3 (ограничение по прямой x = 3)
Для границ по theta:
theta_min = 0 (положительное направление оси x)
theta_max = pi/4 (точка пересечения кривых y = x и y = 1/x)
Шаг 3:
Вычислим якобиан для перехода к полярным координатам.
Известно, что якобиан J равен r.
Шаг 4:
Вычислим новую функцию f(x,y) в терминах переменных r и theta.
Заменим x и y в исходной функции на выражения в терминах r и theta:
f(r*cos(theta), r*sin(theta)) = (r*cos(theta))^2 / (r*sin(theta))^2
Шаг 5:
Запишем двойной интеграл в новых переменных r и theta:
∫∫ (r*cos(theta))^2 / (r*sin(theta))^2 * r dr d(theta)
Шаг 6:
Вычислим первый интеграл по переменной r с границами от r=1 до r=3:
∫ (cos(theta))^2 / (sin(theta))^2 * r^3 / 3 |_1|^3 rdr
Шаг 7:
Вычислим второй интеграл по переменной theta с границами от theta=0 до theta=pi/4:
∫ (cos(theta))^2 / (sin(theta))^2 * (r^3 / 3)|_1|^3 dtheta
Шаг 8:
Вычислим результат двойного интеграла путем вычисления интегралов в шагах 6 и 7 и перемножения их:
((3^3 / 3) – (1^3 / 3)) * ((1*pi/4) – (0*pi/4)) = 26/12 * pi/4 = 13/6 * pi/4.
Таким образом, двойной интеграл x^2/y^2 dxdy, где D ограничена линиями х=3,у=х,у=1/х равен 13/6 * pi/4.
