Данная задача сводится к вычислению неопределенного интеграла от функции (dx/(2+5*x**2)).
Шаги решения:
1. Разложим знаменатель на множители: 2 + 5*x**2 = (sqrt(5)*x+sqrt(2)*sqrt(5)*i)*(sqrt(5)*x-sqrt(2)*sqrt(5)*i), где i – мнимая единица.
2. Выразим данный интеграл через арктангенс: ∫(dx/(2+5*x**2)) = (1/(sqrt(2)*sqrt(5)*i))*∫(dx/((sqrt(5)*x+sqrt(2)*sqrt(5)*i)*(sqrt(5)*x-sqrt(2)*sqrt(5)*i))).
3. Применим формулу интеграла от дробно-рациональной функции и вынесем константу за знак интеграла: (1/(sqrt(2)*sqrt(5)*i))*∫(dx/((sqrt(5)*x+sqrt(2)*sqrt(5)*i)*(sqrt(5)*x-sqrt(2)*sqrt(5)*i))) = (1/(sqrt(10)*i))*(1/sqrt(5))*∫(dx/(x+sqrt(2)*i)-dx/(x-sqrt(2)*i)) = (1/(sqrt(10)*i))*(1/sqrt(5))*(ln|x+sqrt(2)*i| – ln|x-sqrt(2)*i|) + C, где C – произвольная постоянная интегрирования.
4. Упростим выражение, применяя свойства логарифма комплексного числа: (1/(sqrt(10)*i))*(1/sqrt(5))*(ln|x+sqrt(2)*i| – ln|x-sqrt(2)*i|) = (1/(sqrt(10)*i))*(1/sqrt(5))*(ln|x+sqrt(2)*i| + ln|x-sqrt(2)*i|).
5. Заметим, что |x+sqrt(2)*i| и |x-sqrt(2)*i| являются расстояниями между точкой x на действительной оси и точками -sqrt(2)*i и sqrt(2)*i на комплексной плоскости соответственно. Получаем: (ln|x+sqrt(2)*i| + ln|x-sqrt(2)*i|) = ln|sqrt(2)*i| = ln(sqrt(2))+ln|i| = ln(sqrt(2))+ln(1) = ln(sqrt(2)).
6. Ответ: ∫(dx/(2+5*x**2)) = (1/(sqrt(10)*i))*(1/sqrt(5))*(ln(sqrt(2))) + C = (1/(sqrt(10)*i))*(1/sqrt(5))*ln(sqrt(2)) + C, где C – произвольная постоянная интегрирования.