Дана поверхность S, описываемая уравнением x^2 + y^2 + z^2 = 9 при z ≥ 0. Необходимо вычислить поверхностный интеграл первого рода от функции f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z по поверхности S.
Для начала, найдем параметрическое уравнение для поверхности S. Воспользуемся сферическими координатами, чтобы удобнее описать поверхность. Пусть r – радиус сферы, φ – полярный угол, а θ – азимутальный угол. Тогда у нас имеется следующая связь между прямоугольными и сферическими координатами:
x = r*sin(φ)*cos(θ)
y = r*sin(φ)*sin(θ)
z = r*cos(φ)
Исходное уравнение x^2 + y^2 + z^2 = 9 преобразуется к виду:
r^2 = 9, что дает r = 3.
Ограничение z ≥ 0 означает, что полярный угол φ варьируется от 0 до π/2, а азимутальный угол θ варьируется от 0 до 2π.
Теперь вычислим единичный нормальный вектор поверхности. Нормальный вектор поверхности S имеет вид:
n = (dx/dr) x (dy/dθ) – (dy/dr) x (dx/dθ)
Вычислим эти производные и получим:
(dx/dr) = sin(φ)*cos(θ),
(dx/dθ) = -r*sin(φ)*sin(θ),
(dy/dr) = sin(φ)*sin(θ),
(dy/dθ) = r*sin(φ)*cos(θ).
Тогда нормальный вектор можно выразить как:
n = (sin(φ)*cos(θ), -r*sin(φ)*sin(θ), sin(φ)*sin(θ)) x (sin(φ)*sin(θ), r*sin(φ)*cos(θ), sin(φ)*cos(θ)).
Вычислив векторное произведение, получим:
n = (r*sin^2(φ)*cos(θ), r*sin^2(φ)*sin(θ), r*sin(φ)*cos^2(θ) + r*sin(φ)*sin^2(θ)).
Теперь у нас есть параметрическое уравнение поверхности и нормальный вектор. Мы готовы вычислить поверхностный интеграл первого рода.
Поверхностный интеграл первого рода вычисляется по формуле:
∬(S) f(x, y, z) ds = ∫∫(S) f(x, y, z) ∥n∥ dφ dθ,
∥n∥ = sqrt(r^2*sin^4(φ)*cos^2(θ) + r^2*sin^4(φ)*sin^2(θ) + r^2*sin^2(φ)*(cos^4(θ) + sin^4(θ))
∥n∥ = sqrt(r^2*sin^2(φ))
∬(S) f(x, y, z) ds = ∫(0 to π/2) ∫(0 to 2π) (r^2*sin^2(φ))*(x^2 + y^2 + z) dφ dθ,
x = r*sin(φ)*cos(θ),
y = r*sin(φ)*sin(θ),
z = r*cos(φ).
r = 3.
∬(S) f(x, y, z) ds = ∫(0 to π/2) ∫(0 to 2π) (9*sin^2(φ)*cos^2(φ)*cos^2(θ) + 9*sin^2(φ)*cos^2(φ)*sin^2(θ) + 3*sin^4(φ)*cos(φ)) dφ dθ.
Вычисляем этот двойной интеграл и получаем значение поверхностного интеграла первого рода.