Для того чтобы определить, является ли данная последовательность монотонной, нужно проверить ее возрастание или убывание.
Заметим, что в данной последовательности an = 2n^2 + 1 – n^2 – 11 можно провести операцию упрощения, которая позволит нам легче определить монотонность:
an = 2n^2 + 1 – n^2 – 11
= n^2 – 10.
Теперь проверим, как меняется выражение n^2 – 10 при увеличении n.
Пусть n1 и n2 – два произвольных натуральных числа, при этом n1 < n2. Тогда a(n2) - a(n1) = (n2^2 - 10) - (n1^2 - 10) = n2^2 - n1^2 = (n2 - n1)(n2 + n1). Таким образом, получили, что a(n2) - a(n1) равно произведению (n2 - n1) и (n2 + n1). Если (n2 - n1) > 0, т.е. n2 > n1, то (n2 + n1) также > 0. И наоборот, если (n2 – n1) < 0, т.е. n2 < n1, то (n2 + n1) также < 0. Таким образом, знак выражения a(n2) - a(n1) зависит от знака разности n2 - n1. А значит, если n2 > n1, то a(n2) > a(n1), и если n2 < n1, то a(n2) < a(n1). Таким образом, мы доказали, что данная последовательность является монотонной. Итак, последовательность an = 2n^2 + 1 - n^2 - 11 является монотонно возрастающей.