Для решения квадратного уравнения x⁴ – 2x² – 15 = 0, требуется представить его в виде квадратного трехчлена с одной переменной. Заметим, что уравнение содержит только члены с показателями степени 4, 2 и 0.
Можем сделать замену переменной, чтобы получить квадратный трехчлен, например, заменить x² на y. Получим уравнение вида:
y² – 2y – 15 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение y² – 2y – 15 = 0 с помощью факторизации, квадратного корня или квадратного уравнения. Мы видим, что это уравнение является квадратным трехчленом с простыми числами в коэффициентах, поэтому можем попробовать разложить его на два одночлена.
Факторизуем уравнение:
(y – 5)(y + 3) = 0.
В результате получаем два линейных множителя: y – 5 = 0 и y + 3 = 0.
Таким образом, у нас есть два возможных значения для y: y = 5 и y = -3.
Однако, мы заменили x² на y в нашем предыдущем шаге, поэтому сейчас необходимо вернуться к исходной переменной x.
Возвращаясь к нашей замене x² = y, мы получаем:
x² = 5 и x² = -3.
Из уравнения x² = 5, находим два возможных значения: x = √5 и x = -√5.
Из уравнения x² = -3, видим, что не существует действительных решений, так как невозможно извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Таким образом, исходное квадратное уравнение x⁴ – 2x² – 15 = 0 имеет два действительных решения: x = √5 и x = -√5.