Для решения данного неравенства сначала нужно найти корни квадратного уравнения x^2 – 8x + 15 = 0. Это можно сделать, разложив его на множители или используя квадратное уравнение.
Для удобства, перенесем все слагаемые влево:
x^2 – 8x + 15 = 0
Факторизуем этот квадратный трехчлен:
(x – 3)(x – 5) = 0
Таким образом, корни уравнения x^2 – 8x + 15 = 0 равны x = 3 и x = 5.
После этого нужно построить график функции y = x^2 – 8x + 15, чтобы определить, где функция положительна или отрицательна.
Находим вершину параболы, используя формулу x = -b/2a:
x = -(-8)/(2*1) = 8/2 = 4
Подставляем x = 4 в исходное уравнение и находим y:
y = 4^2 – 8*4 + 15 = 16 – 32 + 15 = -1
Таким образом, вершина параболы находится в точке (4, -1).
Теперь мы можем построить график функции y = x^2 – 8x + 15:
|
| Ф
—|——————————————-
| | | | |
|________4_________________5_________________
Теперь посмотрим на знаки функции в каждом интервале.
Для x < 3, y = (отрицательное значение)^2 - (отрицательное значение)*8 + 15.
Так как значение внутри скобок отрицательное, то квадрат этого значения будет положительным. А итоговое число будет положительным, так что в этом интервале функция положительна.
Для 3 < x < 5, y = (отрицательное значение)^2 - (отрицательное значение)*8 + 15.
Здесь отрицательное значение в квадрате всё равно положительному, а (отрицательное значение)*8 всё равно отрицательному. Положительное значение в итоговой сумме сделает ее положительной. Значит, на этом интервале функция тоже положительна.
Для x > 5, y = (положительное значение)^2 – (положительное значение)*8 + 15.
Здесь и первое слагаемое, и второе слагаемое отрицательны. Так как отрицательные числа при умножении дают положительное число, то в результате у нас будет отрицательное значение. Значит, на этом интервале функция отрицательна.
Таким образом, решением исходного неравенства x^2 – 8x + 15 >= 0 является интервал (-∞, 3]∪[5, +∞).