Дана функция f(x) = a^2*x на интервале -1 ≤ x ≤ √0.33. Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию.
1. Вычислим математическое ожидание (M):
M = ∫[a^2*x * p(x)]dx, где p(x) – плотность вероятности
2. Найдем плотность вероятности p(x):
Для этого нужно найти интеграл от функции f(x) по заданному интервалу и нормализовать его.
∫[f(x)]dx = ∫[(a^2*x)]dx = (a^2/2)*x^2 |_(-1)^(√0.33) = (a^2/2)*0.33 – (a^2/2)*1 = (a^2/2)*(0.33 – 1) = (a^2/2)*(-0.67)
Чтобы нормализовать этот результат и получить плотность вероятности, нужно поделить его на интеграл от этой же функции f(x) по всему заданному интервалу:
∫[f(x)]dx = (a^2/2)*x^2 |_(-1)^√0.33 = (a^2/2)*√0.33 – (a^2/2)*(-1)
Подставляем значения и получаем:
(a^2/2)*(-0.67) / [(a^2/2)*√0.33 – (a^2/2)*(-1)] = -0.67 / (√0.33 + 1)
3. Теперь можем вычислить математическое ожидание:
M = ∫[a^2*x * p(x)]dx = ∫[(a^2*x)*(-0.67 / (√0.33 + 1))]dx = (-0.67 / (√0.33 + 1)) * ∫[a^2*x]dx
= (-0.67 / (√0.33 + 1)) * (a^2/2)*x^2 = (-0.335*a^2 / (√0.33 + 1)) * x^2 |_(-1)^√0.33
Подставляем пределы интегрирования:
M = (-0.335*a^2 / (√0.33 + 1)) * (√0.33)^2 – (-0.335*a^2 / (√0.33 + 1)) * (-1)^2
= (-0.335*a^2 / (√0.33 + 1)) * 0.33 – (-0.335*a^2 / (√0.33 + 1))
4. Вычислим дисперсию (D):
D = ∫[(x – M)^2 * p(x)]dx = ∫[(x – M)^2 * (-0.67 / (√0.33 + 1))]dx = (-0.67 / (√0.33 + 1)) * ∫[(x – M)^2]dx
= (-0.67 / (√0.33 + 1)) * (x – M)^3 / 3 |_(-1)^√0.33
Подставляем пределы интегрирования:
D = (-0.67 / (√0.33 + 1)) * (√0.33 – M)^3 / 3 – (-0.67 / (√0.33 + 1)) * (-1 – M)^3 / 3
Теперь можно подставить значения в полученные формулы для M и D, используя изначально заданное значение интервала и функции f(x), чтобы получить окончательный ответ.