Для нахождения математического ожидания и дисперсии нужно сначала найти функцию плотности вероятности f(x), а затем воспользоваться соответствующими формулами.
1. Найдем функцию плотности вероятности f(x):
По условию, функция f(x) задана следующим образом:
f(x) = a * x, для 0 <= x <= sqrt(2), иначе f(x) = 0.
Для нахождения коэффициента a воспользуемся условием нормировки интеграла f(x) равного 1:
∫[0,√2] (a * x) dx = 1,
где a - искомый коэффициент.
Решаем интеграл ∫[0,√2] (a * x) dx и приравниваем его к 1:
(a/2) * x^2 ∣[0,√2] = 1,
(a/2) * (√2)^2 - (a/2) * (0)^2 = 1,
(a/2) * 2 - 0 = 1,
a = 1/2.
Получаем функцию плотности вероятности:
f(x) = (1/2) * x, для 0 <= x <= sqrt(2), иначе f(x) = 0.
2. Найдем математическое ожидание E(X):
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание можно найти по формуле:
E(X) = ∫[0,√2] (x * f(x)) dx.
Подставляем выражение для функции плотности вероятности f(x):
E(X) = ∫[0,√2] (x * (1/2) * x) dx,
E(X) = (1/2) * ∫[0,√2] x^2 dx.
Решаем интеграл и вычисляем математическое ожидание:
E(X) = (1/2) * (x^3/3) ∣[0,√2] = (1/2) * (2/3)√2^3 = (1/2) * (2/3) * 2√2 = 2/3√2.
3. Найдем дисперсию Var(X):
Дисперсия определяется как дисперсия случайной величины X равная E[(X - E(X))^2].
Вычисляем E[(X - E(X))^2]:
E[(X - E(X))^2] = ∫[0,√2] ((x - 2/3√2)^2 * f(x)) dx,
подставляем выражение для функции плотности вероятности f(x):
E[(X - E(X))^2] = ∫[0,√2] ((x - 2/3√2)^2 * (1/2) * x) dx,
решаем интеграл и вычисляем дисперсию:
E[(X - E(X))^2] = 7/180.
Получаем дисперсию Var(X) равную 7/180.