Для нахождения математического ожидания M(X) случайной величины X, заданной функцией плотности вероятности f(x), необходимо проинтегрировать произведение значения переменной x и функции плотности вероятности f(x) по всей области значений случайной величины X.
Итак, у нас дана функция плотности вероятности f(x) = Ax на интервале (2; 7).
Чтобы найти значение коэффициента A, необходимо воспользоваться условием нормировки функции плотности вероятности. Это условие гласит, что интеграл от функции плотности вероятности f(x) должен равняться единице. То есть:
∫(2 до 7) Ax dx = 1.
Интегрируя левую часть данного уравнения, получим:
A * ∫(2 до 7) x dx = A * [1/2 * x^2] с пределами интегрирования от 2 до 7.
Теперь вычисляем интеграл с учетом пределов:
A * [1/2 * 7^2 – 1/2 * 2^2] = A * [1/2 * (49 – 4)] = A * [1/2 * 45] = A * 22.5.
Исходя из условия нормировки, A * 22.5 = 1. Теперь находим значение коэффициента A:
A = 1 / 22.5 = 0.0444 (округляем до четырех знаков после запятой).
Таким образом, коэффициент A равен 0.0444.
Для нахождения математического ожидания M(X) подставляем значение A в функцию плотности вероятности f(x) = Ax и интегрируем произведение x и f(x) по всей области значений X:
M(X) = ∫(2 до 7) x * (0.0444) dx.
Интегрируя данное выражение, получим:
0.0444 * ∫(2 до 7) x dx = 0.0444 * [1/2 * x^2] с пределами интегрирования от 2 до 7.
Вычисляем интеграл с учетом пределов:
0.0444 * [1/2 * 7^2 – 1/2 * 2^2] = 0.0444 * [1/2 * (49 – 4)] = 0.0444 * [1/2 * 45] = 0.0444 * 22.5.
Таким образом, математическое ожидание M(X) равно:
M(X) = 0.0444 * 22.5 = 0.9975 (округляем до четырех знаков после запятой).
Ответ: M(X) = 0.9975.