Top.Mail.Ru
Категории задач
Решение интегралов Работа проверена: Lucas Время решения: 7 мин Сложность: 4.0

Дано

$$int_{0}^{1} sin^{2}{left (x right )} cos^{4}{left (x right )}, dx$$
Подробное решение

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    sin^{2}{left (x right )} cos^{4}{left (x right )} = left(- frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right) left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{2}

  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. пусть
      u = 2 x
      .

      Тогда пусть
      du = 2 dx
      и подставим
      du
      :

      int – frac{1}{16} cos^{3}{left (u right )} – frac{1}{16} cos^{2}{left (u right )} + frac{1}{16} cos{left (u right )} + frac{1}{16}, du

      1. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int – frac{1}{16} cos^{3}{left (u right )}, du = – frac{1}{16} int cos^{3}{left (u right )}, du

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos^{3}{left (u right )} = left(- sin^{2}{left (u right )} + 1right) cos{left (u right )}

          2. пусть
            u = sin{left (u right )}
            .

            Тогда пусть
            du = cos{left (u right )} du
            и подставим
            du
            :

            int – u^{2} + 1, du

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                int – u^{2}, du = – int u^{2}, du

                1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                  $$

                Таким образом, результат будет: $$
                – frac{u^{3}}{3}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                int 1, du = u

              Результат есть:
              – frac{u^{3}}{3} + u
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            – frac{1}{3} sin^{3}{left (u right )} + sin{left (u right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{48} sin^{3}{left (u right )} – frac{1}{16} sin{left (u right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int – frac{1}{16} cos^{2}{left (u right )}, du = – frac{1}{16} int cos^{2}{left (u right )}, du

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos^{2}{left (u right )} = frac{1}{2} cos{left (2 u right )} + frac{1}{2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int frac{1}{2} cos{left (2 u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (2 u right )}, du

              1. пусть
                u = 2 u
                .

                Тогда пусть
                du = 2 du
                и подставим
                frac{du}{2}
                :

                int cos{left (u right )}, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
                  $$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    $$
                    int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                    $$

                  Таким образом, результат будет: $$
                  frac{1}{2} sin{left (u right )}
                  $$

                Если сейчас заменить $$
                u
                ещё в:

                frac{1}{2} sin{left (2 u right )}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{4} sin{left (2 u right )}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              int frac{1}{2}, du = frac{u}{2}

            Результат есть:
            frac{u}{2} + frac{1}{4} sin{left (2 u right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          – frac{u}{32} – frac{1}{64} sin{left (2 u right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{16} cos{left (u right )}, du = frac{1}{16} int cos{left (u right )}, du
          $$

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{16} sin{left (u right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          int frac{1}{16}, du = frac{u}{16}

        Результат есть:
        frac{u}{32} + frac{1}{48} sin^{3}{left (u right )} – frac{1}{64} sin{left (2 u right )}
        $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      frac{x}{16} + frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} – frac{1}{64} sin{left (4 x right )}

    Метод #2

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      left(- frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right) left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{2} = – frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )} – frac{1}{8} cos^{2}{left (2 x right )} + frac{1}{8} cos{left (2 x right )} + frac{1}{8}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        int – frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )}, dx = – frac{1}{8} int cos^{3}{left (2 x right )}, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos^{3}{left (2 x right )} = left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )}

        2. пусть
          u = sin{left (2 x right )}
          .

          Тогда пусть
          du = 2 cos{left (2 x right )} dx
          и подставим
          du
          :

          int – frac{u^{2}}{2} + frac{1}{2}, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int – frac{u^{2}}{2}, du = – frac{1}{2} int u^{2}, du

              1. Интеграл
                u^{n}
                есть
                frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                :

                int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              – frac{u^{3}}{6}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              int frac{1}{2}, du = frac{u}{2}

            Результат есть:
            – frac{u^{3}}{6} + frac{u}{2}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
          $$

        Таким образом, результат будет: $$
        frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} – frac{1}{16} sin{left (2 x right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        int – frac{1}{8} cos^{2}{left (2 x right )}, dx = – frac{1}{8} int cos^{2}{left (2 x right )}, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos^{2}{left (2 x right )} = frac{1}{2} cos{left (4 x right )} + frac{1}{2}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int frac{1}{2} cos{left (4 x right )}, dx = frac{1}{2} int cos{left (4 x right )}, dx

            1. пусть
              u = 4 x
              .

              Тогда пусть
              du = 4 dx
              и подставим
              frac{du}{4}
              :

              int cos{left (u right )}, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                int cos{left (u right )}, du = frac{1}{4} int cos{left (u right )}, du
                $$

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $$
                  int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                  $$

                Таким образом, результат будет: $$
                frac{1}{4} sin{left (u right )}
                $$

              Если сейчас заменить $$
              u
              ещё в:

              frac{1}{4} sin{left (4 x right )}
              $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{8} sin{left (4 x right )}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            int frac{1}{2}, dx = frac{x}{2}

          Результат есть:
          frac{x}{2} + frac{1}{8} sin{left (4 x right )}
          $$

        Таким образом, результат будет: $$
        – frac{x}{16} – frac{1}{64} sin{left (4 x right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        int frac{1}{8} cos{left (2 x right )}, dx = frac{1}{8} int cos{left (2 x right )}, dx

        1. пусть
          u = 2 x
          .

          Тогда пусть
          du = 2 dx
          и подставим
          frac{du}{2}
          :

          int cos{left (u right )}, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
            $$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              $$
              int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
              $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{2} sin{left (u right )}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
          $$

        Таким образом, результат будет: $$
        frac{1}{16} sin{left (2 x right )}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        int frac{1}{8}, dx = frac{x}{8}

      Результат есть:
      frac{x}{16} + frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} – frac{1}{64} sin{left (4 x right )}

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

    frac{x}{16} + frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} – frac{1}{64} sin{left (4 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{x}{16} + frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} – frac{1}{64} sin{left (4 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
| 5 3
| 2 4 1 cos (1)*sin(1) cos(1)*sin(1) cos (1)*sin(1)
| sin (x)*cos (x) dx = — – ————– + ————- + ————–
| 16 6 16 24
/
0

$$-{{3,sin 4-4,sin ^32-12}over{192}}$$
Численный ответ

0.0899881003364571

Ответ (Неопределённый)

/
| 3
| 2 4 sin(4*x) x sin (2*x)
| sin (x)*cos (x) dx = C – ——– + — + ———
| 64 16 48
/

$${{{{2,x-{{sin left(4,xright)}over{2}}}over{4}}+{{sin ^3
left(2,xright)}over{6}}}over{8}}$$
   

Купить уже готовую работу

Подробнее
Интеграл dx/(x^4-x^2)
Решение задач, Высшая математика
Выполнил: user1504019
20
Интеграл (8-3x)cos5x
Решение задач, Высшая математика
Выполнил: user1504019
20

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут .

 

Также искали:

Интеграл (4*x+3)^10 (dx)

Интеграл (2-9*x)^6 (dx)

Интеграл sin(x)^(2)*cos(x)^(6) (dx)

Интеграл cos(x)^(4)*sin(x)^(2) (dx)

4.02
Lucas
Решаю контрольные по немецкому, итальянскому, французскому, латыни русскому и английскому языку, выполняю переводы. Специализируюсь на гуманитарных предметах: история, философия, педагогика, социология, право, литература, психология.
Нанять автора
[metform form_id="1136"]