На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Исследование данной функции y(x) = ln(4-x^2) включает в себя анализ ее основных свойств, таких как область определения, четность/нечетность, асимптоты, экстремумы, интервалы возрастания/убывания и конкавности/вогнутости.
1. Область определения:
Функция ln(4-x^2) определена только тогда, когда 4-x^2 > 0. Решив это неравенство, получим -2 < x < 2. Таким образом, область определения функции y(x) = ln(4-x^2) - это интервал (-2, 2).
2. Четность/нечетность:
Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить, выполняется ли условие f(-x) = f(x).
Подставив -x вместо x в функцию y(x) = ln(4-x^2), получим y(-x) = ln(4-(-x)^2) = ln(4-x^2). Таким образом, функция y(x) = ln(4-x^2) является четной.
3. Асимптоты:
а) Вертикальные асимптоты: Функция ln(4-x^2) определена на интервале (-2, 2), поэтому вертикальных асимптот у нее нет.
б) Горизонтальные асимптоты:
При x -> -∞, y(x) -> -∞, то есть нет горизонтальной асимптоты слева.
При x -> ∞, y(x) -> -∞, то есть нет горизонтальной асимптоты справа.
в) Наклонные асимптоты:
Функция ln(4-x^2) не имеет наклонных асимптот.
4. Экстремумы:
Чтобы найти экстремумы функции y(x), необходимо найти точки, где ее производная равна нулю или находится вне области определения. В данном случае, производная функции y(x) равна y'(x) = -2x/(4-x^2).
Приравняв ее к нулю, получим:
-2x/(4-x^2) = 0
-2x = 0
x = 0
Таким образом, точка x = 0 может являться экстремумом функции y(x) = ln(4-x^2).
5. Интервалы возрастания/убывания и конкавности/вогнутости:
Для определения интервалов возрастания/убывания функции y(x) необходимо анализировать знак производной функции.
Производная y'(x) = -2x/(4-x^2) < 0, когда x > 0, и y'(x) = -2x/(4-x^2) > 0, когда x < 0. Исходя из этого, функция y(x) возрастает на интервале (-2, 0) и убывает на интервале (0, 2). Чтобы определить интервалы конкавности/вогнутости функции y(x), нужно анализировать знак второй производной функции. Вторая производная y''(x) = -8x/(4-x^2)^2 < 0 для всех значений x из области определения функции. Таким образом, функция y(x) = ln(4-x^2) является вогнутой на всем интервале (-2, 2). Таким образом, исследование функции y(x) = ln(4-x^2) позволяет определить ее область определения, четность/нечетность, асимптоты, экстремумы, интервалы возрастания/убывания и конкавности/вогнутости.
