Задача 3 Определить уравнение траектории точки М, которая при движении по плоскости остается вдвое дальше от прямой х – Зу = 0, чем от точки A(9,1). Определите тип этой кривой.

Пусть координаты точки M на плоскости будут (x, y).
Так как точка M остается вдвое дальше от прямой х – Зу = 0, чем от точки A(9,1), можем записать следующее:
sqrt((x – 9)^2 + (y – 1)^2) = 2 * sqrt(x^2 + y^2)

Возведем обе части уравнения в квадрат:
(x – 9)^2 + (y – 1)^2 = 4(x^2 + y^2)

Раскроем скобки:
x^2 – 18x + 81 + y^2 – 2y + 1 = 4x^2 + 4y^2

Упростим уравнение:
3x^2 + 2y^2 – 18x – 2y + 80 = 0

Уравнение требует дальнейшего анализа, чтобы определить тип кривой. Рассмотрим коэффициенты при x^2 и y^2.

Коэффициент при x^2 равен 3, а коэффициент при y^2 равен 2. Поскольку оба коэффициента положительны, это означает, что это уравнение представляет собой эллипс.