Для нахождения производной сложной функции, необходимо применить правило дифференцирования функции вида (y = f(g(x))), где (f(u)) и (g(x)) являются функциями.
В данном случае, (f(u) = sin^{1/2}(u)), а (g(x) = cos(1/2) + lnleft(frac{x^2-1}{x^3}right)). Наша задача состоит в нахождении производной (y) по (x), то есть (frac{dy}{dx}).
Для начала, найдем производную (f(u)). Мы имеем (f(u) = sin^{1/2}(u)), что эквивалентно (f(u) = sin(u)^{1/2}).
Применим правило цепочки для нахождения производной (f(u)). Пусть (v = sin(u)), тогда (f(u) = v^{1/2}).
Производная (v) по (u) равна (frac{dv}{du} = cos(u)).
Теперь мы можем применить правило степенной функции для нахождения производной (f(u)):
(frac{df}{du} = frac{df}{dv} cdot frac{dv}{du} = frac{1}{2}cdot v^{-1/2} cdot cos(u)).
Теперь, для нахождения производной (y) по (x), мы должны применить правило цепочки еще раз:
(frac{dy}{dx} = frac{df}{du} cdot frac{du}{dx}).
Подставим значения, которые уже известны:
(frac{dy}{dx} = frac{1}{2} cdot sin(u)^{-1/2} cdot cos(u) cdot frac{du}{dx}).
Теперь остается только выразить все значения через (x). В нашем случае, (u = cos(1/2) + lnleft(frac{x^2-1}{x^3}right)).
Продифференцируем (u) по (x) с помощью правил суммы, произведения и частного производных, а также производной от константы:
(frac{du}{dx} = frac{d}{dx} left(cos(1/2) + lnleft(frac{x^2-1}{x^3}right)right) = 0 – frac{3}{x} + frac{2x}{x^2-1}).
Теперь подставим полученные выражения обратно в производную (y) по (x):
(frac{dy}{dx} = frac{1}{2} cdot sin(cos(1/2) + lnleft(frac{x^2-1}{x^3}right))^{-1/2} cdot cos(cos(1/2) + lnleft(frac{x^2-1}{x^3}right)) cdot left( 0 – frac{3}{x} + frac{2x}{x^2-1} right)).
Это и есть четкий ответ, который можно переписать в тетрадь.