1) Запись числа z в алгебраической и тригонометрической формах:
– Алгебраическая форма:
z = -2√2/(1 + i)
Объединяя числитель и знаменатель дроби, получаем:
z = (-2√2)(1 – i)/(1 – i)(1 + i)
Раскрываем скобки в знаменателе:
z = (-2√2)(1 – i)/(1 – i^2)
Учитывая, что i^2 = -1, можно упростить:
z = (-2√2)(1 – i)/2
Сокращаем на 2:
z = -√2(1 – i)
– Тригонометрическая форма:
Представляя комплексное число z с помощью модуля |z| и аргумента arg(z), имеем:
|z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2)
где Re(z) – действительная часть числа, Im(z) – мнимая часть числа.
arg(z) = arctan(Im(z)/Re(z))
Вычислим модуль и аргумент числа z:
|z| = √((-2√2)^2 + 0^2) = √8 = 2√2
arg(z) = arctan(0/(-2√2)) = arctan(0) = 0
Так как аргумент равен 0, то тригонометрическая форма комплексного числа будет:
z = 2√2 * cos(0) + i * sin(0)
z = 2√2
2) Найдем z^2 (квадрат числа z):
z^2 = (-√2(1 – i))^2
Раскрываем квадрат и используем формулу (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2:
z^2 = (√2)^2 – 2(-√2(1 – i)i) + (-√2(1 – i)i)^2
Упрощаем:
z^2 = 2 + 2√2i – 2i – 2√2i^2
Учитывая, что i^2 = -1:
z^2 = 2 + 2√2i – 2i + 2√2
Упрощаем:
z^2 = 4 + 2√2i – 2i
3) Найдем кубический корень из числа z:
Так как z = -√2(1 – i), возможно будет удобнее представить это число в тригонометрической форме. Заметим, что аргумент числа равен -π/4.
Тогда корень^3 из числа z можно выразить через модуль и аргумент по формуле:
(sqrt(|z|))^3 * cos(arg(z)/3) + i * sin(arg(z)/3)
Подставляем значения:
(sqrt(2√2))^3 * cos((-π/4)/3) + i * sin((-π/4)/3)
Упрощаем:
2 * 2^(3/2) * cos((-π/4)/3) + i * sin((-π/4)/3)
Сокращаем:
4 * 2^(3/2) * cos((-π/12) + i * sin((-π/12)