Дано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
X | Y | P(X,Y)
—-|—–|——
0 | -1 | 0.2
1 | 0 | 0.3
3 | 0 | 0.3
0 | 1 | 0.2
Шаги решения:
1. Найдем распределения составляющих величин X и Y. Для этого просуммируем вероятности по каждой переменной:
P(X=0) = P(X=0, Y=-1) + P(X=0, Y=1) = 0.2 + 0.2 = 0.4
P(X=1) = P(X=1, Y=0) = 0.3
P(X=3) = P(X=3, Y=0) = 0.3
P(Y=-1) = P(X=0, Y=-1) = 0.2
P(Y=0) = P(X=1, Y=0) + P(X=3, Y=0) = 0.3 + 0.3 = 0.6
P(Y=1) = P(X=0, Y=1) = 0.2
Распределение величины X:
X | P(X)
—-|—–
0 | 0.4
1 | 0.3
3 | 0.3
Распределение величины Y:
Y | P(Y)
—-|—–
-1 | 0.2
0 | 0.6
1 | 0.2
2. Найдем условные распределения P(X|Y) и P(Y|X) с помощью формулы условной вероятности:
P(X|Y=-1) = P(X=0, Y=-1) / P(Y=-1) = 0.2 / 0.2 = 1
P(X|Y=0) = (P(X=1, Y=0) + P(X=3, Y=0)) / P(Y=0) = (0.3 + 0.3) / 0.6 = 1
P(X|Y=1) = P(X=0, Y=1) / P(Y=1) = 0.2 / 0.2 = 1
P(Y|-1) = P(X=0, Y=-1) / P(X=0) = 0.2 / 0.4 = 0.5
P(Y|0) = (P(X=1, Y=0) + P(X=3, Y=0)) / P(X=1) = (0.3 + 0.3) / 0.3 = 2
P(Y|1) = P(X=0, Y=1) / P(X=0) = 0.2 / 0.4 = 0.5
3. Найдем математические ожидания E(X), E(Y) и дисперсии D(X), D(Y) с помощью формул:
E(X) = ∑(x * P(X=x))
E(Y) = ∑(y * P(Y=y))
D(X) = ∑((x – E(X))^2 * P(X=x))
D(Y) = ∑((y – E(Y))^2 * P(Y=y))
E(X) = 0 * 0.4 + 1 * 0.3 + 3 * 0.3 = 1.4
E(Y) = -1 * 0.2 + 0 * 0.6 + 1 * 0.2 = 0
D(X) = (0 – 1.4)^2 * 0.4 + (1 – 1.4)^2 * 0.3 + (3 – 1.4)^2 * 0.3 = 1.56
D(Y) = (-1 – 0)^2 * 0.2 + (0 – 0)^2 * 0.6 + (1 – 0)^2 * 0.2 = 0.2
4. Найдем среднеквадратические отклонения σ(X), σ(Y) как квадратные корни из дисперсий:
σ(X) = √D(X)
σ(Y) = √D(Y)
σ(X) = √1.56 ≈ 1.25
σ(Y) = √0.2 ≈ 0.45
5. Найдем коэффициент корреляции ρ(X,Y) с помощью формулы:
ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))
где Cov(X,Y) – ковариация, которая может быть найдена по формуле:
Cov(X,Y) = E(XY) – E(X) * E(Y)
E(XY) = ∑(x * y * P(X=x, Y=y))
E(XY) = 0 * -1 * 0.2 + 1 * 0 * 0.3 + 3 * 0 * 0.3 + 0 * 1 * 0.2 = 0
Cov(X,Y) = 0 – 1.4 * 0 = 0
ρ(X,Y) = 0 / (1.25 * 0.45) ≈ 0
Ответ:
Распределение величины X:
X | P(X)
—-|—–
0 | 0.4
1 | 0.3
3 | 0.3
Распределение величины Y:
Y | P(Y)
—-|—–
-1 | 0.2
0 | 0.6
1 | 0.2
Условное распределение P(X|Y):
X | P(X|Y)
—-|——
0 | 1
1 | 1
3 | 1
Условное распределение P(Y|X):
Y | P(Y|X)
—-|——–
-1 | 0.5
0 | 2
1 | 0.5
Математическое ожидание E(X) = 1.4
Математическое ожидание E(Y) = 0
Дисперсия D(X) = 1.56
Дисперсия D(Y) = 0.2
Среднеквадратическое отклонение σ(X) ≈ 1.25
Среднеквадратическое отклонение σ(Y) ≈ 0.45
Коэффициент корреляции ρ(X,Y) ≈ 0