(1/5)^(2*log(5)*1/log(2))

$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} < 25 left(frac{1}{5}right)^{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}$$

Дано неравенство:
$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} < 25 left(frac{1}{5}right)^{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} = 25 left(frac{1}{5}right)^{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} = 25 left(frac{1}{5}right)^{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}$$
преобразуем
$$5^{- frac{1}{log{left (2 right )}} left(log{left (x right )} + log{left (25 right )}right)} left(5^{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}} – 25 cdot 5^{log{left (5^{frac{2}{log{left (2 right )}}} right )}}right) = 0$$
$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} – 25 cdot 5^{- frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} – 25 cdot 5^{- frac{w}{log{left (2 right )}}} = 0$$
или
$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} – 25 cdot 5^{- frac{w}{log{left (2 right )}}} = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{- frac{w}{log{left (2 right )}}}$$
получим
$$- 25 v + 5^{- frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} = 0$$
или
$$- 25 v + 5^{- frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

5^-2*log+5log2) – 25*v = 0

Разделим обе части ур-ния на (5^(-2*log(5)/log(2)) – 25*v)/v

v = 0 / ((5^(-2*log(5)/log(2)) – 25*v)/v)

Получим ответ: v = 5^(-2 – 2*log(5)/log(2))
делаем обратную замену
$$5^{- frac{w}{log{left (2 right )}}} = v$$
или
$$w = frac{log{left (v right )}}{log{left (5^{- frac{1}{log{left (2 right )}}} right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = frac{log{left (5^{- frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}} – 2} right )}}{log{left (5^{- frac{1}{log{left (2 right )}}} right )}} = log{left (100 right )}$$
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 100$$
$$x_{1} = 100$$
Данные корни
$$x_{1} = 100$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{999}{10}$$
=
$$frac{999}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(frac{1}{5}right)^{frac{2 log{left (5 right )}}{log{left (2 right )}}} < 25 left(frac{1}{5}right)^{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}$$

/999
log|—|
2*log(5) 10/
– ——– – ——–
1 1
log (2) log (2)
5 < 25*5

-2*log(5) -(-log(10) + log(999))
——— ———————–
log(2) < log(2) 5 25*5

значит решение неравенства будет при:
$$x < 100$$

_____
——-ο——-
x1

$$-infty < x wedge x < 100$$

(-oo, 100)

$$x in left(-infty, 100right)$$