11^(x+1)+3*11^(-x)>34

$$11^{x + 1} + 3 cdot 11^{- x} > 34$$

Дано неравенство:
$$11^{x + 1} + 3 cdot 11^{- x} > 34$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$11^{x + 1} + 3 cdot 11^{- x} = 34$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$11^{x + 1} + 3 cdot 11^{- x} = 34$$
или
$$11^{x + 1} + 3 cdot 11^{- x} – 34 = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(frac{1}{11}right)^{x}$$
получим
$$3 v – 34 + frac{11^{1}}{v} = 0$$
или
$$3 v – 34 + frac{11}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$left(frac{1}{11}right)^{x} = v$$
или
$$x = – frac{log{left (v right )}}{log{left (11 right )}}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = frac{log{left (3 right )}}{log{left (11 right )}}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = frac{log{left (3 right )}}{log{left (11 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = frac{log{left (3 right )}}{log{left (11 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$11^{x + 1} + 3 cdot 11^{- x} > 34$$

11 -(-11)
– — + 1 ——-
10 10
11 + 3*11 > 34

9/10
10____ 11
33*/ 11 + —— > 34
11

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -1$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -1$$
$$x > frac{log{left (3 right )}}{log{left (11 right )}}$$

/ / log(3)
Or|And(-oo < x, x < -1), And|x < oo, ------- < x|| log(11) //

$$left(-infty < x wedge x < -1right) vee left(x < infty wedge frac{log{left (3 right )}}{log{left (11 right )}} < xright)$$

log(3)
(-oo, -1) U (——-, oo)
log(11)

$$x in left(-infty, -1right) cup left(frac{log{left (3 right )}}{log{left (11 right )}}, inftyright)$$