28/5+sqrt(784/25-31*x/10)

$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} < sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$

Дано неравенство:
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} < sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} = sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} = sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$
преобразуем:
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} – sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} = frac{11}{20}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} – sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}}right)^{2} = frac{121}{400}$$
или
$$left(-1right)^{2} left(- frac{x}{5} + frac{184}{5}right) + – 2 sqrt{left(- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}right) left(- frac{x}{5} + frac{184}{5}right)} + 1^{2} left(- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}right) = frac{121}{400}$$
или
$$- frac{33 x}{10} – 2 sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} + frac{1704}{25} = frac{121}{400}$$
преобразуем:
$$- 2 sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} = frac{33 x}{10} – frac{27143}{400}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$frac{62 x^{2}}{25} – frac{60176 x}{125} + frac{577024}{125} = left(frac{33 x}{10} – frac{27143}{400}right)^{2}$$
$$frac{62 x^{2}}{25} – frac{60176 x}{125} + frac{577024}{125} = frac{1089 x^{2}}{100} – frac{895719 x}{2000} + frac{736742449}{160000}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- frac{841 x^{2}}{100} – frac{67097 x}{2000} + frac{1848271}{160000} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = – frac{841}{100}$$
$$b = – frac{67097}{2000}$$
$$c = frac{1848271}{160000}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-67097/2000)^2 – 4 * (-841/100) * (1848271/160000) = 151410083/100000

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
$$x_{2} = – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}$$

Т.к.
$$sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} = – frac{33 x}{20} + frac{27143}{800}$$
и
$$sqrt{frac{31 x^{2}}{50} – frac{15044 x}{125} + frac{144256}{125}} geq 0$$
то

27143 33*x
—– – —- >= 0
800 20

или
$$x leq frac{27143}{1320}$$
$$-infty < x$$
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
$$x_{2} = – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}$$
проверяем:
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
$$sqrt{- frac{31 x_{1}}{10} + frac{784}{25}} – sqrt{- frac{x_{1}}{5} + frac{184}{5}} – frac{11}{20} = 0$$
=
$$- frac{123}{20} – sqrt{- – frac{11 sqrt{12513230}}{84100} – frac{67097}{168200} + frac{184}{5}} + frac{28}{5} + sqrt{- – frac{341 sqrt{12513230}}{168200} – frac{2080007}{336400} + frac{784}{25}} = 0$$
=

0 = 0

– тождество
$$x_{2} = – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}$$
$$sqrt{- frac{31 x_{2}}{10} + frac{784}{25}} – sqrt{- frac{x_{2}}{5} + frac{184}{5}} – frac{11}{20} = 0$$
=
$$- frac{123}{20} – sqrt{- – frac{67097}{168200} + frac{11 sqrt{12513230}}{84100} + frac{184}{5}} + sqrt{- – frac{2080007}{336400} + frac{341 sqrt{12513230}}{168200} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} = 0$$
=

-11/20 + sqrt(12629511/336400 – 341*sqrt(12513230)/168200) – sqrt(6256857/168200 – 11*sqrt(12513230)/84100) = 0

– Нет
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

__________
67097 11*/ 12513230 1
– —– – ————— – —
33640 16820 10

=
$$- frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{70461}{33640}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{- frac{31 x}{10} + frac{784}{25}} + frac{28}{5} < sqrt{- frac{x}{5} + frac{184}{5}} + frac{123}{20}$$

___________________________________________ ______________________________________
/ / __________ / __________
/ | 67097 11*/ 12513230 1 | / 67097 11*/ 12513230 1
/ 31*|- —– – ————— – –| / – —– – ————— – —
28 / 784 33640 16820 10/ 123 / 184 33640 16820 10
— + / — – ———————————– < --- + / --- - ------------------------------ 5 / 25 1 20 / 5 1 / 10 / 5

____________________________ ___________________________
/ __________ / __________
28 / 2546759 341*/ 12513230 < 123 / 6260221 11*/ 12513230 -- + / ------- + ---------------- --- + / ------- + --------------- 5 / 67280 168200 20 / 168200 84100

но

____________________________ ___________________________
/ __________ / __________
28 / 2546759 341*/ 12513230 > 123 / 6260221 11*/ 12513230
— + / ——- + —————- — + / ——- + —————
5 / 67280 168200 20 / 168200 84100

Тогда
$$x < - frac{11 sqrt{12513230}}{16820} - frac{67097}{33640}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$left(x leq frac{1568}{155} wedge – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820} < xright) vee left(x < - frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820} wedge - frac{11 sqrt{12513230}}{16820} - frac{67097}{33640} < xright)$$

__________ __________ __________
67097 11*/ 12513230 67097 11*/ 12513230 67097 11*/ 12513230 1568
(- —– – —————, – —– + —————) U (- —– + —————, —-]
33640 16820 33640 16820 33640 16820 155

$$x in left(- frac{11 sqrt{12513230}}{16820} – frac{67097}{33640}, – frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}right) cup left(- frac{67097}{33640} + frac{11 sqrt{12513230}}{16820}, frac{1568}{155}right]$$