2*cos(4*x)

$$2 cos{left (4 x right )} < -1$$

Дано неравенство:
$$2 cos{left (4 x right )} < -1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 cos{left (4 x right )} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 cos{left (4 x right )} = -1$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$cos{left (4 x right )} = – frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = pi n + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$4 x = pi n – pi + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
Или
$$4 x = pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$4 x = pi n – frac{pi}{3}$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} – frac{pi}{12}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} – frac{pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} – frac{pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{4} + frac{pi}{6} + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{4} – frac{1}{10} + frac{pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$2 cos{left (4 x right )} < -1$$
$$2 cos{left (4 left(frac{pi n}{4} + frac{pi}{6} + – frac{1}{10}right) right )} < -1$$

/ 2 pi
-2*sin|- – + — + pi*n| < -1 5 6 /

но

/ 2 pi
-2*sin|- – + — + pi*n| > -1
5 6 /

Тогда
$$x < frac{pi n}{4} + frac{pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{pi n}{4} + frac{pi}{6} wedge x < frac{pi n}{4} - frac{pi}{12}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

/pi pi
And|– < x, x < --| 6 3 /

$$frac{pi}{6} < x wedge x < frac{pi}{3}$$

pi pi
(–, –)
6 3

$$x in left(frac{pi}{6}, frac{pi}{3}right)$$