2*log(x^2)*1/log(4)+log(x+14)*1/log(2)

$$frac{2 log{left (x^{2} right )}}{log{left (4 right )}} + frac{log{left (x + 14 right )}}{log{left (2 right )}} leq frac{2 log{left (x + 2 right )}}{log{left (2 right )}} + frac{-1 log{left (x + 4 right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{2 log{left (x^{2} right )}}{log{left (4 right )}} + frac{log{left (x + 14 right )}}{log{left (2 right )}} leq frac{2 log{left (x + 2 right )}}{log{left (2 right )}} + frac{-1 log{left (x + 4 right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{2 log{left (x^{2} right )}}{log{left (4 right )}} + frac{log{left (x + 14 right )}}{log{left (2 right )}} = frac{2 log{left (x + 2 right )}}{log{left (2 right )}} + frac{-1 log{left (x + 4 right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{2 log{left (x^{2} right )}}{log{left (4 right )}} + frac{log{left (x + 14 right )}}{log{left (2 right )}} = frac{2 log{left (x + 2 right )}}{log{left (2 right )}} + frac{-1 log{left (x + 4 right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (2 right )}} left(2 log{left (x right )} + log{left (frac{x + 14}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} right )}right) = 0$$
$$frac{1}{log{left (2 right )} log{left (4 right )}} left(log{left (16 right )} log{left (x right )} + log{left (4 right )} log{left (frac{x + 14}{left(x + 2right)^{2} left(x + 4right)} right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (4 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w log{left (2 right )}} left(w log{left (frac{x + 14}{left(x + 2right)^{2} left(x + 4right)} right )} + log{left (16 right )} log{left (x right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(2)
получим:
$$w log{left (frac{x + 14}{left(x + 2right)^{2} left(x + 4right)} right )} + log{left (16 right )} log{left (x right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*log14+x2+x^2*4+2*x)) + log16logx = 0

Разделим обе части ур-ния на (w*log((14 + x)/((2 + x)^2*(4 + x))) + log(16)*log(x))/w

w = 0 / ((w*log((14 + x)/((2 + x)^2*(4 + x))) + log(16)*log(x))/w)

Получим ответ: w = -log(16)*log(x)/log((14 + x)/((2 + x)^2*(4 + x)))
делаем обратную замену
$$log{left (4 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2.22395353982 cdot 10^{43} – 9.69845702531 cdot 10^{40} i$$
$$x_{2} = 7.25815510126 cdot 10^{36} + 1.3466281704 cdot 10^{36} i$$
$$x_{3} = 4$$
$$x_{4} = 5.21218639988 cdot 10^{43} – 2.08794960699 cdot 10^{44} i$$

False

$$x_{6} = 8.25511410846 cdot 10^{39} – 3.6439432364 cdot 10^{39} i$$
$$x_{7} = 2.5783130277 cdot 10^{44} – 1.4864377884 cdot 10^{44} i$$
$$x_{8} = 1.185360064 cdot 10^{39} – 1.04338771494 cdot 10^{39} i$$
$$x_{9} = 2.49527133446 cdot 10^{42} + 1.20464959682 cdot 10^{43} i$$
$$x_{10} = 1.48079272216 cdot 10^{40} – 6.27193755866 cdot 10^{39} i$$
$$x_{11} = 3.06836855919 cdot 10^{41} – 1.91924095811 cdot 10^{41} i$$
$$x_{12} = 7.74095360199 cdot 10^{44} + 1.99597892139 cdot 10^{45} i$$
$$x_{13} = 1.02339230057 cdot 10^{45} + 7.93879311192 cdot 10^{44} i$$
$$x_{14} = 1.375155257 cdot 10^{39} – 3.74811266151 cdot 10^{38} i$$
$$x_{15} = 8.62367372285 cdot 10^{40} – 1.15598418431 cdot 10^{41} i$$
$$x_{16} = 3.27901329791 cdot 10^{42} + 3.75260349803 cdot 10^{42} i$$
$$x_{17} = 6.29940968554 cdot 10^{33} – 2.23187879654 cdot 10^{33} i$$
$$x_{18} = 1.44311072101 cdot 10^{38} – 8.78069399286 cdot 10^{37} i$$
$$x_{19} = 1.05821259486 cdot 10^{43} – 2.20114870273 cdot 10^{41} i$$
$$x_{20} = 5.87097411598 cdot 10^{44} – 1.75939745841 cdot 10^{46} i$$
$$x_{21} = 6.0552825402 cdot 10^{43} + 8.97814821205 cdot 10^{43} i$$
$$x_{22} = 9.01402170773 cdot 10^{41} – 7.05780887447 cdot 10^{40} i$$
$$x_{23} = 1.1682782085 cdot 10^{37} – 9.74255766117 cdot 10^{36} i$$
$$x_{24} = 4.50070748707 cdot 10^{39} – 2.07517425763 cdot 10^{39} i$$
$$x_{25} = 6.99333184677 cdot 10^{42} – 2.19410760578 cdot 10^{43} i$$
$$x_{26} = 7.59174090388 cdot 10^{40} – 2.87137663297 cdot 10^{40} i$$
$$x_{27} = 1.53043945418 cdot 10^{53} – 1.14550945887 cdot 10^{55} i$$
$$x_{28} = 3.99399990403 cdot 10^{45} – 2.58260705185 cdot 10^{45} i$$
$$x_{29} = 1.40932534687 cdot 10^{41} + 8.97349935651 cdot 10^{40} i$$
$$x_{30} = 6.69098554531 cdot 10^{35} – 2.57869368226 cdot 10^{36} i$$
$$x_{31} = 4.3098824853 cdot 10^{46} – 1.61503645082 cdot 10^{47} i$$
$$x_{32} = 2.60187371797 cdot 10^{40} – 1.05949020531 cdot 10^{40} i$$
$$x_{33} = 2.02283454663 cdot 10^{37} – 3.13027505334 cdot 10^{37} i$$
$$x_{34} = 8.35618918668 cdot 10^{48} – 3.21423558673 cdot 10^{47} i$$
$$x_{35} = 2.45127954786 cdot 10^{44} + 4.87212256783 cdot 10^{44} i$$
$$x_{36} = 8.97632465198 cdot 10^{41} + 1.40056798252 cdot 10^{42} i$$
$$x_{37} = 6.03354334846 cdot 10^{44} – 4.74148054642 cdot 10^{44} i$$
$$x_{38} = 6.55128403246 cdot 10^{37} – 4.31909968689 cdot 10^{37} i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$3.9$$
=
$$3.9$$
подставляем в выражение
$$frac{2 log{left (x^{2} right )}}{log{left (4 right )}} + frac{log{left (x + 14 right )}}{log{left (2 right )}} leq frac{2 log{left (x + 2 right )}}{log{left (2 right )}} + frac{-1 log{left (x + 4 right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}}$$
$$frac{2 log{left (3.9^{2} right )}}{log{left (4 right )}} + frac{log{left (3.9 + 14 right )}}{log{left (2 right )}} leq frac{-1 log{left (3.9 + 4 right )}}{log{left (frac{1}{2} right )}} + frac{2 log{left (2 + 3.9 right )}}{log{left (2 right )}}$$

2.88480071284671 5.4439062125424 5.61676746129632
—————- + ————— <= ---------------- log(2) log(4) log(2)

значит решение неравенства будет при:
$$x leq 4$$

_____
——-•——-
x1