2*sin(5*pi*1/4*x)>=sqrt(3)

$$2 sin{left (x frac{5 pi}{4} right )} geq sqrt{3}$$

Дано неравенство:
$$2 sin{left (x frac{5 pi}{4} right )} geq sqrt{3}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 sin{left (x frac{5 pi}{4} right )} = sqrt{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 sin{left (x frac{5 pi}{4} right )} = sqrt{3}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$sin{left (frac{5 pi}{4} x right )} = frac{sqrt{3}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{5 pi}{4} x = 2 pi n + {asin}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$frac{5 pi}{4} x = 2 pi n – {asin}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )} + pi$$
Или
$$frac{5 pi}{4} x = 2 pi n + frac{pi}{3}$$
$$frac{5 pi}{4} x = 2 pi n + frac{2 pi}{3}$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$frac{5 pi}{4}$$
$$x_{1} = frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{4 pi}{3}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{8 pi}{3}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{4 pi}{3}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{8 pi}{3}right)$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{4 pi}{3}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{8 pi}{3}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{4}{5 pi} left(2 pi n + frac{pi}{3}right) + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{4 pi}{3}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 sin{left (x frac{5 pi}{4} right )} geq sqrt{3}$$
$$2 sin{left (frac{5 pi}{4} left(frac{4}{5 pi} left(2 pi n + frac{pi}{3}right) – frac{1}{10}right) right )} geq sqrt{3}$$

/ / pi
| | — + 2*pi*n|| ___
| | 1 3 || >= / 3
2*sin|pi*|- – + ———–||
8 pi //

но

/ / pi
| | — + 2*pi*n|| ___
| | 1 3 || < / 3 2*sin|pi*|- - + -----------|| 8 pi //

Тогда
$$x leq frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{4 pi}{3}right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{4 pi}{3}right) wedge x leq frac{1}{5 pi} left(8 pi n + frac{8 pi}{3}right)$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$frac{4}{15} leq x wedge x leq frac{8}{15}$$

[4/15, 8/15]

$$x in left[frac{4}{15}, frac{8}{15}right]$$