2*sqrt(sin(x)^2-sin(x)-1)>=cos(x)^2+sin(x)+3

$$2 sqrt{sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )} – 1} geq sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )} + 3$$

Дано неравенство:
$$2 sqrt{sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )} – 1} geq sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )} + 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 sqrt{sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )} – 1} = sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )} + 3$$
Решаем:
$$x_{1} = – frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} right )}$$
$$x_{3} = 2 {atan}{left (frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = – frac{pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

pi 1
– — – —
2 10

=
$$- frac{pi}{2} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 sqrt{sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )} – 1} geq sin{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )} + 3$$

______________________________________
/ 2/ pi 1 / pi 1 2/ pi 1 / pi 1
2* / sin |- — – –| – sin|- — – –| – 1 >= cos |- — – –| + sin|- — – –| + 3
/ 2 10/ 2 10/ 2 10/ 2 10/

_____________________________ 2
/ 2 >= 3 + sin (1/10) – cos(1/10)
2*/ -1 + cos (1/10) + cos(1/10)

но

_____________________________ 2
/ 2 < 3 + sin (1/10) - cos(1/10) 2*/ -1 + cos (1/10) + cos(1/10)

Тогда
$$x leq – frac{pi}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq – frac{pi}{2}$$

_____
/
——-•——-
x1

-pi
x = —-
2

$$x = – frac{pi}{2}$$

-pi
{—-}
2

$$x in left{- frac{pi}{2}right}$$