36*x^4+35*x^2-1

$$36 x^{4} + 35 x^{2} – 1 leq 0$$

Дано неравенство:
$$36 x^{4} + 35 x^{2} – 1 leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$36 x^{4} + 35 x^{2} – 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$36 x^{4} + 35 x^{2} – 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$36 v^{2} + 35 v – 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 36$$
$$b = 35$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(35)^2 – 4 * (36) * (-1) = 1369

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = frac{1}{36}$$
$$v_{2} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = – sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = – sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = frac{1}{36}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = frac{1}{36}$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = frac{1}{36}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$36 x^{4} + 35 x^{2} – 1 leq 0$$
$$-1 + 35 left(- frac{11}{10}right)^{2} + 36 left(- frac{11}{10}right)^{4} leq 0$$

58786
—– <= 0 625

но

58786
—– >= 0
625

Тогда
$$x leq -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -1 wedge x leq frac{1}{36}$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$- frac{1}{6} leq x wedge x leq frac{1}{6}$$

[-1/6, 1/6]

$$x in left[- frac{1}{6}, frac{1}{6}right]$$