На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$frac{1}{2} 3 log{left (11 right )} frac{1}{log{left (x right )}} < 2 left(- frac{log{left (x right )}}{log{left (11 right )}} + frac{log{left (1 right )}}{log{left (11 right )}}right) + 8$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{2} 3 log{left (11 right )} frac{1}{log{left (x right )}} = 2 left(- frac{log{left (x right )}}{log{left (11 right )}} + frac{log{left (1 right )}}{log{left (11 right )}}right) + 8$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{2} 3 log{left (11 right )} frac{1}{log{left (x right )}} = 2 left(- frac{log{left (x right )}}{log{left (11 right )}} + frac{log{left (1 right )}}{log{left (11 right )}}right) + 8$$
преобразуем
$$frac{2 log{left (x right )}}{log{left (11 right )}} – frac{log{left (45949729863572161 right )}}{2 log{left (11 right )}} + frac{3 log{left (11 right )}}{2 log{left (x right )}} = 0$$
$$frac{1}{2} 3 log{left (11 right )} frac{1}{log{left (x right )}} + – – frac{2 log{left (x right )}}{log{left (11 right )}} + frac{2 log{left (1 right )}}{log{left (11 right )}} – 8 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{2 w}{log{left (11 right )}} – 8 – frac{2 log{left (1 right )}}{log{left (11 right )}} + frac{3}{2 w} log{left (11 right )} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и w
получим:
$$w left(frac{2 w}{log{left (11 right )}} – 8 – frac{2 log{left (1 right )}}{log{left (11 right )}} + frac{3}{2 w} log{left (11 right )}right) = 0 w$$
$$frac{2 w^{2}}{log{left (11 right )}} – 8 w + frac{3}{2} log{left (11 right )} = 0$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{2}{log{left (11 right )}}$$
$$b = -8$$
$$c = frac{3}{2} log{left (11 right )}$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-8)^2 – 4 * (2/log(11)) * (3*log(11)/2) = 52
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = frac{1}{4} left(2 sqrt{13} + 8right) log{left (11 right )}$$
$$w_{2} = frac{1}{4} left(- 2 sqrt{13} + 8right) log{left (11 right )}$$
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:
log(v)=p
По определению log
v=e^p
тогда
w
–
1
x = e
упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 11^{- frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
$$x_{2} = 11^{frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
$$x_{1} = 11^{- frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
$$x_{2} = 11^{frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 11^{- frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
$$x_{2} = 11^{frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
____
/ 13
2 – ——
2 1
11 – —
10
=
$$- frac{1}{10} + 11^{- frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{2} 3 log{left (11 right )} frac{1}{log{left (x right )}} < 2 left(- frac{log{left (x right )}}{log{left (11 right )}} + frac{log{left (1 right )}}{log{left (11 right )}}right) + 8$$
/ 3*log(11)
|———————–|
| / ____ | / / ____
| | / 13 || | | / 13 ||
| | 2 – —— || | | 2 – —— ||
| 1| 2 1 || | | 2 1 ||
|log |11 – –|| | log|11 – –||
10// | log(1) 10/|
————————- < 8 + 2*|-------- - ----------------------| 1 | 1 1 | 2 log (11) log (11) /
3*log(11) / ____
————————– | / 13 |
/ ____ | 2 – ——|
| / 13 | | 1 2 |
| 2 – ——| < 2*log|- -- + 11 | | 1 2 | 10 / 2*log|- -- + 11 | 8 - -------------------------- 10 / log(11)
но
3*log(11) / ____
————————– | / 13 |
/ ____ | 2 – ——|
| / 13 | | 1 2 |
| 2 – ——| > 2*log|- — + 11 |
| 1 2 | 10 /
2*log|- — + 11 | 8 – ————————–
10 / log(11)
Тогда
$$x < 11^{- frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 11^{- frac{sqrt{13}}{2} + 2} wedge x < 11^{frac{sqrt{13}}{2} + 2}$$
_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2
