3^x+10*3^(3-x)>=37

$$3^{x} + 10 cdot 3^{- x + 3} geq 37$$

Дано неравенство:
$$3^{x} + 10 cdot 3^{- x + 3} geq 37$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{x} + 10 cdot 3^{- x + 3} = 37$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{x} + 10 cdot 3^{- x + 3} = 37$$
или
$$3^{x} + 10 cdot 3^{- x + 3} – 37 = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(frac{1}{3}right)^{x}$$
получим
$$10 cdot 3^{3} v^{1} – 37 + frac{1}{v} = 0$$
или
$$270 v – 37 + frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$left(frac{1}{3}right)^{x} = v$$
или
$$x = – frac{log{left (v right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}$$
подставляем в выражение
$$3^{x} + 10 cdot 3^{- x + 3} geq 37$$

log(10) 1 log(10) 1
——- – — 3 – ——- – —
1 10 1 10
log (3) log (3)
3 + 10*3 >= 37

1 log(10) 31 log(10)
– — + ——- — – ——-
10 log(3) 10 log(3) >= 37
3 + 10*3

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x geq 3$$

/ / log(10)
Or|And(3 <= x, x < oo), And|x <= -------, -oo < x|| log(3) //

$$left(3 leq x wedge x < inftyright) vee left(x leq frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}} wedge -infty < xright)$$

log(10)
(-oo, ——-] U [3, oo)
log(3)

$$x in left(-infty, frac{log{left (10 right )}}{log{left (3 right )}}right] cup left[3, inftyright)$$