3*(x-2)*(x-7)*(x+7)+2*(x-7)+150*(x-2)

$$150 left(x – 2right) + left(x – 7right) 3 left(x – 2right) left(x + 7right) + 2 left(x – 7right) < 0$$

Дано неравенство:
$$150 left(x – 2right) + left(x – 7right) 3 left(x – 2right) left(x + 7right) + 2 left(x – 7right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$150 left(x – 2right) + left(x – 7right) 3 left(x – 2right) left(x + 7right) + 2 left(x – 7right) = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = frac{2}{3} + left(- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}} – frac{1}{9 left(- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}}$$
$$x_{2} = frac{2}{3} – frac{1}{9 left(- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}} + left(- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}$$
$$x_{3} = – frac{1}{9 sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}} + frac{2}{3} + sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = – frac{1}{9 sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}} + frac{2}{3} + sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{9 sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}} + frac{2}{3} + sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

_______________
/ ______
2 / 83 / 6890 1 1
– + 3 / — + ——– – ———————- – —
3 / 27 27 _______________ 10
/ ______
/ 83 / 6890
9*3 / — + ——–
/ 27 27

=
$$- frac{1}{9 sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}} + frac{17}{30} + sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}$$
подставляем в выражение
$$150 left(x – 2right) + left(x – 7right) 3 left(x – 2right) left(x + 7right) + 2 left(x – 7right) < 0$$

/ _______________ / _______________ / _______________ / _______________ / _______________
| / ______ | | / ______ | | / ______ | | / ______ | | / ______ |
|2 / 83 / 6890 1 1 | |2 / 83 / 6890 1 1 | |2 / 83 / 6890 1 1 | |2 / 83 / 6890 1 1 | |2 / 83 / 6890 1 1 |
3*|- + 3 / — + ——– – ———————- – — – 2|*|- + 3 / — + ——– – ———————- – — – 7|*|- + 3 / — + ——– – ———————- – — + 7| + 2*|- + 3 / — + ——– – ———————- – — – 7| + 150*|- + 3 / — + ——– – ———————- – — – 2| < 0 |3 / 27 27 _______________ 10 | |3 / 27 27 _______________ 10 | |3 / 27 27 _______________ 10 | |3 / 27 27 _______________ 10 | |3 / 27 27 _______________ 10 | | / ______ | | / ______ | | / ______ | | / ______ | | / ______ | | / 83 / 6890 | | / 83 / 6890 | | / 83 / 6890 | | / 83 / 6890 | | / 83 / 6890 | | 9*3 / -- + -------- | | 9*3 / -- + -------- | | 9*3 / -- + -------- | | 9*3 / -- + -------- | | 9*3 / -- + -------- | / 27 27 / / 27 27 / / 27 27 / / 27 27 / / 27 27 /

_______________ / _______________ / _______________ / _______________
/ ______ | / ______ | | / ______ | | / ______ |
3418 / 83 / 6890 152 | 193 / 83 / 6890 1 | | 43 / 83 / 6890 1 | |227 / 83 / 6890 1 |
– —- + 152*3 / — + ——– – ———————- + |- — + 3 / — + ——– – ———————-|*|- — + 3*3 / — + ——– – ———————-|*|— + 3 / — + ——– – ———————-|
15 / 27 27 _______________ | 30 / 27 27 _______________| | 10 / 27 27 _______________| | 30 / 27 27 _______________| < 0 / ______ | / ______ | | / ______ | | / ______ | / 83 / 6890 | / 83 / 6890 | | / 83 / 6890 | | / 83 / 6890 | 9*3 / -- + -------- | 9*3 / -- + -------- | | 3*3 / -- + -------- | | 9*3 / -- + -------- | / 27 27 / 27 27 / / 27 27 / / 27 27 /

значит решение неравенства будет при:
$$x < - frac{1}{9 sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}} + frac{2}{3} + sqrt[3]{frac{83}{27} + frac{sqrt{6890}}{27}}$$

_____
——-ο——-
x1

$$-infty < x wedge x < {Crootof} {left(3 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 20, 0right)}$$

/ 2 3
(-oo, CRootOf -20 – 6*x + 3*x + 5*x, 0/)

$$x in left(-infty, {Crootof} {left(3 x^{3} – 6 x^{2} + 5 x – 20, 0right)}right)$$