(4*x-3)^4-34*(4*x-3)^2-72

$$left(4 x – 3right)^{4} – 34 left(4 x – 3right)^{2} – 72 leq 0$$

Дано неравенство:
$$left(4 x – 3right)^{4} – 34 left(4 x – 3right)^{2} – 72 leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(4 x – 3right)^{4} – 34 left(4 x – 3right)^{2} – 72 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$left(4 x – 3right)^{4} – 34 left(4 x – 3right)^{2} – 72 = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(4 x – 3right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} – 34 v – 72 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -34$$
$$c = -72$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-34)^2 – 4 * (1) * (-72) = 1444

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 36$$
$$v_{2} = -2$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = left(4 x – 3right)^{2}$$
то
$$x_{1} = frac{sqrt{v_{1}}}{4} + frac{3}{4}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{v_{1}}}{4} + frac{3}{4}$$
$$x_{3} = frac{sqrt{v_{2}}}{4} + frac{3}{4}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{v_{2}}}{4} + frac{3}{4}$$
тогда:
$$x_{1} = 36$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 36$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 36$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(4 x – 3right)^{4} – 34 left(4 x – 3right)^{2} – 72 leq 0$$

4 2
/4*(-21) /4*(-21)
|——- – 3| – 34*|——- – 3| – 72 <= 0 10 / 10 /

7749351
——- <= 0 625

но

7749351
——- >= 0
625

Тогда
$$x leq -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -2 wedge x leq 36$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$- frac{3}{4} leq x wedge x leq frac{9}{4}$$

[-3/4, 9/4]

$$x in left[- frac{3}{4}, frac{9}{4}right]$$