(4*x^2-16*x+16)^log(sqrt(2)*x)*1/log(8)>(4-2*x)^(sqrt(log(x)*1/log(2)))

$$frac{1}{log{left (8 right )}} left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}} > left(- 2 x + 4right)^{sqrt{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}}$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{log{left (8 right )}} left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}} > left(- 2 x + 4right)^{sqrt{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{log{left (8 right )}} left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}} = left(- 2 x + 4right)^{sqrt{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{log{left (8 right )}} left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}} = left(- 2 x + 4right)^{sqrt{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}}$$
преобразуем
$$- left(- 2 x + 4right)^{frac{sqrt{log{left (x right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}}} + frac{1}{log{left (8 right )}} left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}} = 0$$
$$frac{1}{log{left (8 right )}} left(- left(- 2 x + 4right)^{frac{sqrt{log{left (x right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}}} log{left (8 right )} + left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (8 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w} left(- w left(- 2 x + 4right)^{frac{sqrt{log{left (x right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}}} + left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$- w left(- 2 x + 4right)^{frac{sqrt{log{left (x right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}}} + left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (x right )} + frac{1}{2} log{left (2 right )}} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

16+16*x+4*x+2^log/2+2/2 + logx) – w4+2*x^sqrt+log+x)/sqrtlog+2)) = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(16 – 16*x + 4*x^2)^(log(2)/2 + log(x)) – w*(4 – 2*x)^(sqrt(log(x))/sqrt(log(2))) = 0

Разделим обе части ур-ния на ((16 – 16*x + 4*x^2)^(log(2)/2 + log(x)) – w*(4 – 2*x)^(sqrt(log(x))/sqrt(log(2))))/w

w = 0 / (((16 – 16*x + 4*x^2)^(log(2)/2 + log(x)) – w*(4 – 2*x)^(sqrt(log(x))/sqrt(log(2))))/w)

Получим ответ: w = (4 – 2*x)^(-sqrt(log(x))/sqrt(log(2)))*(16 – 16*x + 4*x^2)^(log(2)/2 + log(x))
делаем обратную замену
$$log{left (8 right )} = w$$
подставляем w:

False

$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 2 + 1.81203415012 cdot 10^{-17} i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$1.9$$
=
$$1.9$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{log{left (8 right )}} left(4 x^{2} – 16 x + 16right)^{log{left (sqrt{2} x right )}} > left(- 2 x + 4right)^{sqrt{frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}}}}$$

__________
/ ___ / log(1.9)
log/ 2 *1.9/ / ——–
/ 2 / 1
4*1.9 – 16*1.9 + 16/ / log (2)
———————————— > (4 – 2*1.9)
1
log (8)

/ ___ 0.801157840985405
log1.9*/ 2 / —————–
0.0400000000000009 > ________
——————————– / log(2)
log(8) 0.2

Тогда
$$x < 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 2$$

_____
/
——-ο——-
x1