4*x^2+9*y^2>12*x*y-1/10

$$4 x^{2} + 9 y^{2} > 12 x y – frac{1}{10}$$

Дано неравенство:
$$4 x^{2} + 9 y^{2} > 12 x y – frac{1}{10}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 x^{2} + 9 y^{2} = 12 x y – frac{1}{10}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$4 x^{2} + 9 y^{2} = 12 x y – frac{1}{10}$$
в
$$4 x^{2} + 9 y^{2} + – 12 x y + frac{1}{10} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = – 12 y$$
$$c = 9 y^{2} + frac{1}{10}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-12*y)^2 – 4 * (4) * (1/10 + 9*y^2) = -8/5

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20}$$
$$x_{2} = frac{3 y}{2} – frac{sqrt{10} i}{20}$$
$$x_{1} = frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20}$$
$$x_{2} = frac{3 y}{2} – frac{sqrt{10} i}{20}$$
$$x_{1} = frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20}$$
$$x_{2} = frac{3 y}{2} – frac{sqrt{10} i}{20}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20}$$
$$x_{2} = frac{3 y}{2} – frac{sqrt{10} i}{20}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20} + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{3 y}{2} – frac{1}{10} + frac{sqrt{10} i}{20}$$
подставляем в выражение
$$4 x^{2} + 9 y^{2} > 12 x y – frac{1}{10}$$
$$9 y^{2} + 4 left(frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20} + – frac{1}{10}right)^{2} > y 12 left(frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20} + – frac{1}{10}right) – frac{1}{10}$$

2 / ____
/ ____ 1 | 6 3*I*/ 10 |
| 1 3*y I*/ 10 | 2 > – — + y*|- – + 18*y + ———-|
4*|- — + — + ——–| + 9*y 10 5 5 /
10 2 20 /

Тогда
$$x < frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{3 y}{2} + frac{sqrt{10} i}{20} wedge x < frac{3 y}{2} - frac{sqrt{10} i}{20}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2