На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$- 21 cdot 2^{x – 1} + 5 cdot 2^{2 x + 2} + 1 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 21 cdot 2^{x – 1} + 5 cdot 2^{2 x + 2} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 21 cdot 2^{x – 1} + 5 cdot 2^{2 x + 2} + 1 = 0$$
или
$$- 21 cdot 2^{x – 1} + 5 cdot 2^{2 x + 2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$5 cdot 2^{2} v^{2} – frac{21 v}{2} + 1 = 0$$
или
$$20 v^{2} – frac{21 v}{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 20$$
$$b = – frac{21}{2}$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-21/2)^2 – 4 * (20) * (1) = 121/4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = frac{2}{5}$$
$$v_{2} = frac{1}{8}$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = frac{2}{5}$$
$$x_{2} = frac{1}{8}$$
$$x_{1} = frac{2}{5}$$
$$x_{2} = frac{1}{8}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{8}$$
$$x_{1} = frac{2}{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{1}{40}$$
=
$$frac{1}{40}$$
подставляем в выражение
$$- 21 cdot 2^{x – 1} + 5 cdot 2^{2 x + 2} + 1 < 0$$
2
— + 2
40 1/40 – 1
5*2 – 21*2 + 1 < 0
40___
20___ 21*/ 2
1 + 20*/ 2 – ——– < 0 2
но
40___
20___ 21*/ 2
1 + 20*/ 2 – ——– > 0
2
Тогда
$$x < frac{1}{8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{8} wedge x < frac{2}{5}$$
_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1
/ log(5)
And|-3 < x, x < 1 - ------| log(2)/
log(5)
(-3, 1 – ——)
log(2)
