5^(x+2)+2*5^(-x)

$$5^{x + 2} + 2 cdot 5^{- x} leq 51$$

Дано неравенство:
$$5^{x + 2} + 2 cdot 5^{- x} leq 51$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x + 2} + 2 cdot 5^{- x} = 51$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x + 2} + 2 cdot 5^{- x} = 51$$
или
$$5^{x + 2} + 2 cdot 5^{- x} – 51 = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(frac{1}{5}right)^{x}$$
получим
$$2 v – 51 + frac{5^{2}}{v} = 0$$
или
$$2 v – 51 + frac{25}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$left(frac{1}{5}right)^{x} = v$$
или
$$x = – frac{log{left (v right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = frac{log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = frac{log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = frac{log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$5^{x + 2} + 2 cdot 5^{- x} leq 51$$

21 -(-21)
– — + 2 ——-
10 10
5 + 2*5 <= 51

9/10
10___ 5
50*/ 5 + —– <= 51 5

но

9/10
10___ 5
50*/ 5 + —– >= 51
5

Тогда
$$x leq -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -2 wedge x leq frac{log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

/ log(2)
And|-2 <= x, x <= ------| log(5)/

$$-2 leq x wedge x leq frac{log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$

log(2)
[-2, ——]
log(5)

$$x in left[-2, frac{log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}right]$$