9^(x+1/9)-4*3^(x+10/9)+27>=0

$$- 4 cdot 3^{x + frac{10}{9}} + 9^{x + frac{1}{9}} + 27 geq 0$$

Дано неравенство:
$$- 4 cdot 3^{x + frac{10}{9}} + 9^{x + frac{1}{9}} + 27 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 cdot 3^{x + frac{10}{9}} + 9^{x + frac{1}{9}} + 27 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 4 cdot 3^{x + frac{10}{9}} + 9^{x + frac{1}{9}} + 27 = 0$$
или
$$- 4 cdot 3^{x + frac{10}{9}} + 9^{x + frac{1}{9}} + 27 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$- 12 sqrt[9]{3} v + sqrt[9]{9} left(v^{2}right)^{1} + 27 = 0$$
или
$$3^{frac{2}{9}} v^{2} – 12 sqrt[9]{3} v + 27 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3^{frac{2}{9}}$$
$$b = – 12 sqrt[9]{3}$$
$$c = 27$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-12*3^(1/9))^2 – 4 * (3^(2/9)) * (27) = 36*3^(2/9)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3 cdot 3^{frac{8}{9}}$$
$$v_{2} = 3^{frac{8}{9}}$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = 3 cdot 3^{frac{8}{9}}$$
$$x_{2} = 3^{frac{8}{9}}$$
$$x_{1} = 3 cdot 3^{frac{8}{9}}$$
$$x_{2} = 3^{frac{8}{9}}$$
Данные корни
$$x_{2} = 3^{frac{8}{9}}$$
$$x_{1} = 3 cdot 3^{frac{8}{9}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + 3^{frac{8}{9}}$$
=
$$- frac{1}{10} + 3^{frac{8}{9}}$$
подставляем в выражение
$$- 4 cdot 3^{x + frac{10}{9}} + 9^{x + frac{1}{9}} + 27 geq 0$$

8/9 1 1 8/9 1 10
3 – — + – 3 – — + —
10 9 10 9
9 – 4*3 + 27 >= 0

1 8/9 91 8/9
— + 3 — + 3
90 90 >= 0
27 + 9 – 4*3

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq 3^{frac{8}{9}}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq 3^{frac{8}{9}}$$
$$x geq 3 cdot 3^{frac{8}{9}}$$

$$left(frac{17}{9} leq x wedge x < inftyright) vee left(x leq frac{8}{9} wedge -infty < xright)$$

(-oo, 8/9] U [17/9, oo)

$$x in left(-infty, frac{8}{9}right] cup left[frac{17}{9}, inftyright)$$