9*x^2+6*x+1>=0

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 9$$
$$b = 6$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(6)^2 – 4 * (9) * (1) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

x = -b/2a = -6/2/(9)

$$x_{1} = – frac{1}{3}$$
$$x_{1} = – frac{1}{3}$$
$$x_{1} = – frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{13}{30}$$
=
$$- frac{13}{30}$$
подставляем в выражение
$$9 x^{2} + 6 x + 1 geq 0$$
$$frac{-78}{30} 1 + 9 left(- frac{13}{30}right)^{2} + 1 geq 0$$

9/100 >= 0

значит решение неравенства будет при:
$$x leq – frac{1}{3}$$

_____
——-•——-
x1

(-oo, oo)