cos(2*x)

$$cos{left (2 x right )} < 1$$

Дано неравенство:
$$cos{left (2 x right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (2 x right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (2 x right )} = 1$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = pi n + {acos}{left (1 right )}$$
$$2 x = pi n – pi + {acos}{left (1 right )}$$
Или
$$2 x = pi n$$
$$2 x = pi n – pi$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{2}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi n}{2}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$cos{left (2 x right )} < 1$$
$$cos{left (2 left(frac{pi n}{2} + – frac{1}{10}right) right )} < 1$$

cos(-1/5 + pi*n) < 1

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{pi n}{2}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{pi n}{2}$$
$$x > frac{pi n}{2} – frac{pi}{2}$$

$$left(-infty < x wedge x < 0right) vee left(0 < x wedge x < piright)$$

(-oo, 0) U (0, pi)

$$x in left(-infty, 0right) cup left(0, piright)$$