cos(p*1/4)*sin(x)-sin(p*1/4)*cos(x)

$$sin{left (x right )} cos{left (frac{p}{4} right )} – sin{left (frac{p}{4} right )} cos{left (x right )} < frac{-1 sqrt{3}}{2}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (x right )} cos{left (frac{p}{4} right )} – sin{left (frac{p}{4} right )} cos{left (x right )} < frac{-1 sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (x right )} cos{left (frac{p}{4} right )} – sin{left (frac{p}{4} right )} cos{left (x right )} = frac{-1 sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} cos{left (frac{p}{4} right )} – sin{left (frac{p}{4} right )} cos{left (x right )} = frac{-1 sqrt{3}}{2}$$
преобразуем
$$- sin{left (frac{p}{4} – x right )} + frac{sqrt{3}}{2} = 0$$
$$- sin{left (frac{p}{4} – x right )} + frac{sqrt{3}}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = sin{left (frac{p}{4} – x right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

sqrt3/2 – w = 0

Разделим обе части ур-ния на (sqrt(3)/2 – w)/w

w = 0 / ((sqrt(3)/2 – w)/w)

Получим ответ: w = sqrt(3)/2
делаем обратную замену
$$sin{left (frac{p}{4} – x right )} = w$$
Дано уравнение
$$sin{left (frac{p}{4} – x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{p}{4} – x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$frac{p}{4} – x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
Или
$$frac{p}{4} – x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$frac{p}{4} – x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{p}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$- x = 2 pi n – frac{p}{4} + {asin}{left (w right )}$$
$$- x = 2 pi n – frac{p}{4} – {asin}{left (w right )} + pi$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$-1$$
подставляем w:
$$x_{1} = – 2 pi n + frac{p}{4} – {asin}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = – 2 pi n + frac{p}{4} – {asin}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$x_{1} = – 2 pi n + frac{p}{4} – frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = – 2 pi n + frac{p}{4} + {asin}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{2} = – 2 pi n + frac{p}{4} – pi + {asin}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$x_{2} = – 2 pi n + frac{p}{4} – frac{2 pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 3}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 1}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$
$$x_{1} = 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 3}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 1}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 3}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 1}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 3}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )} + – frac{1}{10}$$
=
$$2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 3}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (x right )} cos{left (frac{p}{4} right )} – sin{left (frac{p}{4} right )} cos{left (x right )} < frac{-1 sqrt{3}}{2}$$

/ / 2/p / / 2/p
| | -3 + 4*sin |-| | | | | -3 + 4*sin |-| | | ___
/p | | 8/ | 1 | /p | | 8/ | 1 | -/ 3
cos|-|*sin|2*atan|——————-| – –| – sin|-|*cos|2*atan|——————-| – –| < ------- 4/ | | 1| 10| 4/ | | 1| 10| 2 | |/ ___ /p | | | |/ ___ /p | | | ||/ 3 + 2*sin|-|| | | | ||/ 3 + 2*sin|-|| | | 4// / / 4// / /

/ / 2/p / / 2/p
| | -3 + 4*sin |-| || | | -3 + 4*sin |-| || ___
/p | 1 | 8/ || | 1 | 8/ || /p -/ 3
cos|-|*sin|- — + 2*atan|—————-|| – cos|- — + 2*atan|—————-||*sin|-| < ------- 4/ | 10 | ___ /p|| | 10 | ___ /p|| 4/ 2 | |/ 3 + 2*sin|-||| | |/ 3 + 2*sin|-||| 4/// 4///

Тогда
$$x < 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} - 3}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} – 3}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )} wedge x < 2 {atan}{left (frac{4 sin^{2}{left (frac{p}{8} right )} - 1}{2 sin{left (frac{p}{4} right )} + sqrt{3}} right )}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2