cos(x)^2

$$cos^{2}{left (x right )} leq frac{3}{4}$$

Дано неравенство:
$$cos^{2}{left (x right )} leq frac{3}{4}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos^{2}{left (x right )} = frac{3}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos^{2}{left (x right )} = frac{3}{4}$$
преобразуем
$$cos^{2}{left (x right )} – frac{3}{4} = 0$$
$$cos^{2}{left (x right )} – frac{3}{4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = – frac{3}{4}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-3/4) = 3

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{sqrt{3}}{2}$$
$$w_{2} = – frac{sqrt{3}}{2}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$x_{1} = pi n + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + frac{5 pi}{6}$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$x_{3} = pi n – frac{5 pi}{6}$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$x_{4} = pi n – frac{pi}{6}$$
$$x_{1} = frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{5 pi}{6}$$
$$x_{3} = frac{7 pi}{6}$$
$$x_{4} = frac{11 pi}{6}$$
$$x_{1} = frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{5 pi}{6}$$
$$x_{3} = frac{7 pi}{6}$$
$$x_{4} = frac{11 pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{5 pi}{6}$$
$$x_{3} = frac{7 pi}{6}$$
$$x_{4} = frac{11 pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{pi}{6}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$cos^{2}{left (x right )} leq frac{3}{4}$$
$$cos^{2}{left (- frac{1}{10} + frac{pi}{6} right )} leq frac{3}{4}$$

2/1 pi
sin |– + –| <= 3/4 10 3 /

но

2/1 pi
sin |– + –| >= 3/4
10 3 /

Тогда
$$x leq frac{pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{pi}{6} wedge x leq frac{5 pi}{6}$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3 x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq frac{pi}{6} wedge x leq frac{5 pi}{6}$$
$$x geq frac{7 pi}{6} wedge x leq frac{11 pi}{6}$$

/ /pi 5*pi /7*pi
Or|And|– <= x, x <= ----|, And|---- <= x, x < oo|| 6 6 / 6 //

$$left(frac{pi}{6} leq x wedge x leq frac{5 pi}{6}right) vee left(frac{7 pi}{6} leq x wedge x < inftyright)$$

pi 5*pi 7*pi
[–, —-] U [—-, oo)
6 6 6

$$x in left[frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}right] cup left[frac{7 pi}{6}, inftyright)$$