log(-4*x+7)*1/log(5)*log(2*x+8)*1/log(5)-log(-4*x+7)*1/log(5)-log(2*x+8)*1/log(5)+1

$$frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (- 4 x + 7 right )} – frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} + 1 leq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (- 4 x + 7 right )} – frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} + 1 leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (- 4 x + 7 right )} – frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (- 4 x + 7 right )} – frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} + 1 = 0$$
преобразуем
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} left(- left(log{left (- 4 x + 7 right )} + log{left (2 x + 8 right )}right) log{left (5 right )} + log{left (- 4 x + 7 right )} log{left (2 x + 8 right )} + log^{2}{left (5 right )}right) = 0$$
$$frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (- 4 x + 7 right )} – frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 x + 8 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (- 4 x + 7 right )} – frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} + 1 = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(8 + 2*x)

b1 = log(5)

a2 = 1

b2 = 1/(-1 + log(7 – 4*x)/log(5) – log(7 – 4*x)*log(8 + 2*x)/log(5)^2)

зн. получим ур-ние
$$frac{-1 log{left (2 x + 8 right )}}{- frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log^{2}{left (5 right )}} log{left (2 x + 8 right )} + frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – 1} = log{left (5 right )}$$
$$- frac{log{left (2 x + 8 right )}}{- frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log^{2}{left (5 right )}} log{left (2 x + 8 right )} + frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – 1} = log{left (5 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log8+2*x-1+log+7+4*xlog5 – log7+4*xlog8+2*xlog5^2) = log(5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log8+2*x-1+log+7+4*xlog5 – log7+4*xlog8+2*xlog5^2) = log5

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-log(8 + 2*x)/(-1 + log(7 – 4*x)/log(5) – log(7 – 4*x)*log(8 + 2*x)/log(5)^2) = log5

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

log(8 + 2*x)
1 – ———————————————— = 1 + log(5)
1
/ log(7 – 4*x) log(7 – 4*x)*log(8 + 2*x)
|-1 + ———— – ————————-|
| 1 2 |
log (5) log (5) /

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (2 x + 8 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (2 x + 8 right )} = w$$
$$log{left (2 x + 8 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
2*x + 8 = e

упрощаем
$$2 x + 8 = e^{w}$$
$$2 x = e^{w} – 8$$
$$x = frac{e^{w}}{2} – 4$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{2}$$
$$x_{1} = – frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{8}{5}$$
=
$$- frac{8}{5}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} frac{1}{log{left (5 right )}} log{left (- 4 x + 7 right )} – frac{log{left (- 4 x + 7 right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (2 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} + 1 leq 0$$

/ 4*(-8)
log|- —— + 7|
5 / /2*(-8)
—————–*log|—— + 8| / 4*(-8) /2*(-8)
1 5 / log|- —— + 7| log|—— + 8|
log (5) 5 / 5 /
——————————— – —————– – ————— + 1 <= 0 1 1 1 log (5) log (5) log (5)

-log(5) + log(24) -log(5) + log(67) (-log(5) + log(24))*(-log(5) + log(67))
1 – —————– – —————– + —————————————
log(5) log(5) 2 <= 0 log (5)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{3}{2}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{3}{2}$$
$$x geq frac{1}{2}$$

$$left(frac{1}{2} leq x wedge x < inftyright) vee left(x leq - frac{3}{2} wedge -infty < xright)$$

(-oo, -3/2] U [1/2, oo)

$$x in left(-infty, – frac{3}{2}right] cup left[frac{1}{2}, inftyright)$$