log(x^2-7*x+12)*1/log(x^2-5*x+8)

$$frac{log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} leq frac{log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} leq frac{log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} = frac{log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} = frac{log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} left(log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )} – log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}right) = 0$$
$$frac{log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} – frac{log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} – frac{log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(12 + x^2 – 7*x)

b1 = log(8 + x^2 – 5*x)

a2 = log(4 – 7*x + 3*x^2)

b2 = log(8 + x^2 – 5*x)

зн. получим ур-ние
$$log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )} log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )} = log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )} log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}$$
$$log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )} log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )} = log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )} log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log8+x+2+5*xlog12+x+2+7*x = log(4 – 7*x + 3*x^2)*log(8 + x^2 – 5*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log8+x+2+5*xlog12+x+2+7*x = log4+7*x+3*x+2log8+x+2+5*x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(8 + x^2 – 5*x)*log(12 + x^2 – 7*x) = log4+7*x+3*x+2log8+x+2+5*x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(8 + x^2 – 5*x)*log(12 + x^2 – 7*x) = log(4 – 7*x + 3*x^2)*log(8 + x^2 – 5*x)

Переносим слагаемые с неизвестным w
из правой части в левую:

/ 2 / 2 / 2 / 2
7*x + log8 + x – 5*x/*log12 + x – 7*x/ = 7*x + log4 – 7*x + 3*x /*log8 + x – 5*x/

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x^{2} – 7 x + 12 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}} leq frac{log{left (3 x^{2} – 7 x + 4 right )}}{log{left (x^{2} – 5 x + 8 right )}}$$

/ 2 / 2
|/-21 7*(-21) | | /-21 7*(-21) |
log||—-| – ——- + 12| log|3*|—-| – ——- + 4|
10 / 10 / 10 / 10 /
————————— <= ---------------------------- / 2 / 2 1|/-21 5*(-21) | 1|/-21 5*(-21) | log ||----| - ------- + 8| log ||----| - ------- + 8| 10 / 10 / 10 / 10 /

-log(100) + log(3111) -log(100) + log(3193)
——————— <= --------------------- -log(100) + log(2291) -log(100) + log(2291)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq -2$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq -2$$
$$x geq 2$$

$$left(x leq -2 wedge -infty < xright) vee x = 2$$

(-oo, -2] U {2}

$$x in left(-infty, -2right] cup left{2right}$$