log(-x^2+8*x-7)*1/log(x-1)-(log(x+7)^2*1/log(x-1))^2/16>=2

$$- frac{1}{16} frac{1}{log^{2}{left (x – 1 right )}} log^{4}{left (x + 7 right )} + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} geq 2$$

Дано неравенство:
$$- frac{1}{16} frac{1}{log^{2}{left (x – 1 right )}} log^{4}{left (x + 7 right )} + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} geq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- frac{1}{16} frac{1}{log^{2}{left (x – 1 right )}} log^{4}{left (x + 7 right )} + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- frac{1}{16} frac{1}{log^{2}{left (x – 1 right )}} log^{4}{left (x + 7 right )} + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} = 2$$
преобразуем
$$-2 + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} – frac{log^{4}{left (x + 7 right )}}{16 log^{2}{left (x – 1 right )}} = 0$$
$$- frac{1}{16} frac{1}{log^{2}{left (x – 1 right )}} log^{4}{left (x + 7 right )} + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} – 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x – 1 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{1}{16} frac{1}{log^{2}{left (x – 1 right )}} log^{4}{left (x + 7 right )} + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} – 2 = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(-7 – x^2 + 8*x)

b1 = log(-1 + x)

a2 = 1

b2 = 1/(2 + log(7 + x)^4/(16*log(-1 + x)^2))

зн. получим ур-ние
$$frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{2 + frac{log^{4}{left (x + 7 right )}}{16 log^{2}{left (x – 1 right )}}} = log{left (x – 1 right )}$$
$$frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{2 + frac{log^{4}{left (x + 7 right )}}{16 log^{2}{left (x – 1 right )}}} = log{left (x – 1 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log-7+x+2+8*x2+log+7+x^4/16*log-4/1+4/x^2)) = log(-1 + x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log-7+x+2+8*x2+log+7+x^4/16*log-4/1+4/x^2)) = log-1+x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(-7 – x^2 + 8*x)/(2 + log(7 + x)^4/(16*log(-1 + x)^2)) = log-1+x

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ 2
log -7 – x + 8*x/
7 + ———————- = 7 + log(-1 + x)
1
/ 4
| log (7 + x) |
|2 + —————|
| 2 |
16*log (-1 + x)/

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x – 1 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x – 1 right )} = w$$
$$log{left (x – 1 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x – 1 = e

упрощаем
$$x – 1 = e^{w}$$
$$x = e^{w} + 1$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2.11479204165 – 1.24377733299 i$$
$$x_{3} = 2.11479204165 + 1.24377733299 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$1.9$$
=
$$1.9$$
подставляем в выражение
$$- frac{1}{16} frac{1}{log^{2}{left (x – 1 right )}} log^{4}{left (x + 7 right )} + frac{log{left (- x^{2} + 8 x – 7 right )}}{log{left (x – 1 right )}} geq 2$$

2
/ 2
|log (1.9 + 7)|
|————-|
/ 2 | 1 |
log – 1.9 + 8*1.9 – 7/ log (1.9 – 1)/
———————– – —————- >= 2
1 1
log (1.9 – 1) 16

-143.041173580317 >= 2

но

-143.041173580317 < 2

Тогда
$$x leq 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq 2$$

_____
/
——-•——-
x1