log(1/2)*1/log(8+4*x-x^2)

$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} < -3$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} < -3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} = -3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} = -3$$
преобразуем
$$3 – frac{log{left (2 right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} = 0$$
$$3 + frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}$$
Дано уравнение:
$$3 + frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(2)

b1 = log(8 – x^2 + 4*x)

a2 = 1

b2 = -1/3

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{3} log{left (2 right )} = log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}$$
$$frac{1}{3} log{left (2 right )} = log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log2/3 = log(8 – x^2 + 4*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log2/3 = log8+x+2+4*x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(2)/3 = log(8 – x^2 + 4*x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2 + sqrt{- sqrt[3]{2} + 12}$$
$$x_{2} = – sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + 2$$
$$x_{1} = 2 + sqrt{- sqrt[3]{2} + 12}$$
$$x_{2} = – sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + 2$$
Данные корни
$$x_{2} = – sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + 2$$
$$x_{1} = 2 + sqrt{- sqrt[3]{2} + 12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

____________
/ 3 ___ 1
2 – / 12 – / 2 – —
10

=
$$- sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x^{2} + 4 x + 8 right )}} < -3$$

log(1/2)
——————————————————————– < -3 / 2 | / ____________ / ____________ | 1| | / 3 ___ 1 | | / 3 ___ 1 | | log |8 + 4*|2 - / 12 - / 2 - --| - |2 - / 12 - / 2 - --| | 10/ 10/ /

-log(2)
—————————————————–
/ 2
| / ____________ ____________| < -3 |78 |19 / 3 ___ | / 3 ___ | log|-- - |-- - / 12 - / 2 | - 4*/ 12 - / 2 | 5 10 / /

но

-log(2)
—————————————————–
/ 2
| / ____________ ____________| > -3
|78 |19 / 3 ___ | / 3 ___ |
log|– – |– – / 12 – / 2 | – 4*/ 12 – / 2 |
5 10 / /

Тогда
$$x < - sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + 2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + 2 wedge x < 2 + sqrt{- sqrt[3]{2} + 12}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

/ / ____________ / ____________
| | ____ / 3 ___ | | / 3 ___ ____ ||
OrAndx < 2 + / 11 , 2 + / 12 - / 2 < x/, Andx < 2 - / 12 - / 2 , 2 - / 11 < x//

$$left(x < 2 + sqrt{11} wedge 2 + sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} < xright) vee left(x < - sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + 2 wedge - sqrt{11} + 2 < xright)$$

____________ ____________
____ / 3 ___ / 3 ___ ____
(2 – / 11 , 2 – / 12 – / 2 ) U (2 + / 12 – / 2 , 2 + / 11 )

$$x in left(- sqrt{11} + 2, – sqrt{- sqrt[3]{2} + 12} + 2right) cup left(2 + sqrt{- sqrt[3]{2} + 12}, 2 + sqrt{11}right)$$