log(1/3)*(15+3*x)*1/2*x

$$x frac{1}{2} left(3 x + 15right) log{left (frac{1}{3} right )} < 0$$

Дано неравенство:
$$x frac{1}{2} left(3 x + 15right) log{left (frac{1}{3} right )} < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x frac{1}{2} left(3 x + 15right) log{left (frac{1}{3} right )} = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$x frac{1}{2} left(3 x + 15right) log{left (frac{1}{3} right )} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- frac{3 x^{2}}{2} log{left (3 right )} – frac{15 x}{2} log{left (3 right )} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = – frac{3}{2} log{left (3 right )}$$
$$b = – frac{15}{2} log{left (3 right )}$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-15*log(3)/2)^2 – 4 * (-3*log(3)/2) * (0) = 225*log(3)^2/4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{51}{10}$$
=
$$- frac{51}{10}$$
подставляем в выражение
$$x frac{1}{2} left(3 x + 15right) log{left (frac{1}{3} right )} < 0$$
$$frac{-51}{10} frac{1}{2} left(frac{-153}{10} 1 + 15right) log{left (frac{1}{3} right )} < 0$$

-153*log(3)
———– < 0 200

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -5$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -5$$
$$x > 0$$

$$left(-infty < x wedge x < -5right) vee left(0 < x wedge x < inftyright)$$

(-oo, -5) U (0, oo)

$$x in left(-infty, -5right) cup left(0, inftyright)$$