log(1/5,x-3)>-2

$$frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (x – 3 right )}} > -2$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (x – 3 right )}} > -2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (x – 3 right )}} = -2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (x – 3 right )}} = -2$$
преобразуем
$$2 – frac{log{left (5 right )}}{log{left (x – 3 right )}} = 0$$
$$2 + frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (x – 3 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x – 3 right )}$$
Дано уравнение:
$$2 + frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (x – 3 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(5)

b1 = log(-3 + x)

a2 = 1

b2 = -1/2

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{2} log{left (5 right )} = log{left (x – 3 right )}$$
$$frac{1}{2} log{left (5 right )} = log{left (x – 3 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log5/2 = log(-3 + x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log5/2 = log-3+x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x – 3 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x – 3 right )} = w$$
$$log{left (x – 3 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x – 3 = e

упрощаем
$$x – 3 = e^{w}$$
$$x = e^{w} + 3$$
подставляем w:
$$x_{1} = sqrt{5} + 3$$
$$x_{1} = sqrt{5} + 3$$
Данные корни
$$x_{1} = sqrt{5} + 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + sqrt{5} + 3$$
=
$$sqrt{5} + frac{29}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (x – 3 right )}} > -2$$
$$frac{log{left (frac{1}{5} right )}}{log{left (-3 + – frac{1}{10} + sqrt{5} + 3 right )}} > -2$$

-log(5)
—————–
/ 1 ___ > -2
log|- — + / 5 |
10 /

Тогда
$$x < sqrt{5} + 3$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > sqrt{5} + 3$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$x < infty wedge sqrt{5} + 3 < x$$

___
(3 + / 5 , oo)

$$x in left(sqrt{5} + 3, inftyright)$$