log(16-x^2)*1/log(3^2)-9*log(16-x^2)*1/log(3)+8>=0

$$frac{log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (9 right )}} – frac{9 log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (3 right )}} + 8 geq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (9 right )}} – frac{9 log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (3 right )}} + 8 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (9 right )}} – frac{9 log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (3 right )}} + 8 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (9 right )}} – frac{9 log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (3 right )}} + 8 = 0$$
преобразуем
$$- frac{1}{2 log{left (3 right )}} left(17 log{left (- x^{2} + 16 right )} – log{left (43046721 right )}right) = 0$$
$$frac{1}{log{left (3 right )} log{left (9 right )}} left(log{left (3 right )} log{left (- 43046721 x^{2} + 688747536 right )} – log{left (387420489 right )} log{left (- x^{2} + 16 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (9 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w log{left (3 right )}} left(log{left (3 right )} log{left (- 43046721 x^{2} + 688747536 right )} – log{left (387420489 right )} log{left (- x^{2} + 16 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(3)
получим:
$$left(- 17 log{left (- x^{2} + 16 right )} + log{left (43046721 right )}right) log{left (3 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-17*log+16+x+2 + log43046721)*log3 = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(-17*log(16 – x^2) + log(43046721))*log(3) = 0

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (9 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = – sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$
$$x_{2} = sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$
$$x_{1} = – sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$
$$x_{2} = sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$
Данные корни
$$x_{1} = – sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$
$$x_{2} = sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

__________
/ 16
/ —
/ 17 1
– / 16 – 3 – —
10

=
$$- sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (9 right )}} – frac{9 log{left (- x^{2} + 16 right )}}{log{left (3 right )}} + 8 geq 0$$

/ 2 / 2
| / __________ | | / __________ |
| | / 16 | | | | / 16 | |
| | / — | | | | / — | |
| | / 17 1 | | | | / 17 1 | |
log|16 – |- / 16 – 3 – –| | 9*log|16 – |- / 16 – 3 – –| |
10/ / 10/ /
———————————– – ————————————- + 8 >= 0
1 1
log (9) log (3)

/ 2 / 2
| / __________ | | / __________ |
| | / 16 | | | | / 16 | |
| | / — | | | | / — | |
| | 1 / 17 | | | | 1 / 17 | | >= 0
log|16 – |- — – / 16 – 3 | | 9*log|16 – |- — – / 16 – 3 | |
10 / / 10 / /
8 + ———————————– – ————————————-
log(9) log(3)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$
$$x geq sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$

$$x = – sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16} vee x = sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}$$

__________ __________
/ 16 / 16
/ — / —
/ 17 / 17
{-/ 16 – 3 , / 16 – 3 }

$$x in left{- sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}, sqrt{- 3^{frac{16}{17}} + 16}right}$$