log(x+2)*1/log(9^(x-6))

$$frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (9^{x – 6} right )}} < 1$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (9^{x – 6} right )}} < 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (9^{x – 6} right )}} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (9^{x – 6} right )}} = 1$$
преобразуем
$$-1 + frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (frac{9^{x}}{531441} right )}} = 0$$
$$-1 + frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (9^{x – 6} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (9^{x – 6} right )}$$
Дано уравнение:
$$-1 + frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (9^{x – 6} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(2 + x)

b1 = log(9^(-6 + x))

a2 = 1

b2 = 1

зн. получим ур-ние
$$log{left (x + 2 right )} = log{left (9^{x – 6} right )}$$
$$log{left (x + 2 right )} = log{left (9^{x – 6} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log2+x = log(9^(-6 + x))

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log2+x = log9-6+x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (9^{x – 6} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right)$$
$$x_{1} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

/ / 2/43046721
LambertW -log3 // + log(81) 1
– ————————————- – —
1 10
2*log (3)

=
$$- frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x + 2 right )}}{log{left (9^{x – 6} right )}} < 1$$

/ / / 2/43046721
| LambertW -log3 // + log(81) 1 |
log|- ————————————- – — + 2|
| 1 10 |
2*log (3) /
——————————————————- < 1 / / / 2/43046721 | LambertW -log3 // + log(81) 1 | | - ------------------------------------- - -- - 6| | 1 10 | 1| 2*log (3) | log 9 /

/ / / 2/43046721
| 19 LambertW -log3 // + log(81)|
pi*I + log|- — + ————————————-|
10 2*log(3) /
——————————————————–
/ / / 2/43046721 < 1 | 61 LambertW -log3 // + log(81)| | - -- - -------------------------------------| | 10 2*log(3) | log9 /

Тогда
$$x < - frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right)$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right)$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$x < infty wedge - frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right) < x$$

/ / / 2/43046721
-LambertW -log3 // + log(81)/
(—————————————–, oo)
2*log(3)

$$x in left(- frac{1}{2 log{left (3 right )}} left({Lambertw}{left (- log{left (3^{frac{2}{43046721}} right )} right )} + log{left (81 right )}right), inftyright)$$